线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程学、物理学、计算机科学等领域。为了帮助大家更好地理解和掌握线性代数的核心知识，以下是一份精心整理的复习提纲。
一、向量与矩阵的基本概念
1. 向量
- 向量是由一组有序数组成的对象，通常表示为列向量。
- 向量的加法和数乘运算遵循交换律和结合律。
- 向量的模（长度）计算公式为 \( \| \mathbf{v} \| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} \)。
2. 矩阵
- 矩阵是一个二维数组，可以用来表示线性变换或数据集合。
- 矩阵的加法、减法和数乘运算与向量类似。
- 矩阵的转置记作 \( A^T \)，即将行变为列。
二、行列式与逆矩阵
1. 行列式
- 行列式是一个标量值，用于判断矩阵是否可逆。
- 对于 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \)，其行列式记作 \( \det(A) \)。
- 计算公式：对于 \( 2 \times 2 \) 矩阵 \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，行列式为 \( ad - bc \)。
2. 逆矩阵
- 如果矩阵 \( A \) 是可逆的，则存在一个矩阵 \( A^{-1} \)，使得 \( A A^{-1} = I \)。
- 求逆矩阵的方法包括高斯消元法和伴随矩阵法。
三、线性方程组
1. 齐次线性方程组
- 形如 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 的方程组。
- 解的存在性和唯一性取决于系数矩阵 \( A \) 的秩。
2. 非齐次线性方程组
- 形如 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) 的方程组。
- 使用克拉默法则或高斯消元法求解。
四、特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量
- 定义：若 \( A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \)，则 \( \lambda \) 为 \( A \) 的特征值，\( \mathbf{v} \) 为对应的特征向量。
- 特征值的求解方法：解特征方程 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)。
2. 对角化
- 若矩阵 \( A \) 可以对角化，则存在一个可逆矩阵 \( P \)，使得 \( P^{-1}AP = D \)，其中 \( D \) 是对角矩阵。
五、正交性与投影
1. 内积与正交
- 向量的内积定义为 \( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^T \mathbf{v} \)。
- 正交向量满足 \( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 \)。
2. 投影
- 向量 \( \mathbf{u} \) 在向量 \( \mathbf{v} \) 上的投影为 \( \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v} \)。
六、二次型
1. 二次型的定义
- 二次型是形如 \( Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \) 的函数。
2. 正定性与负定性
- 判断矩阵 \( A \) 是否正定、负定或不定，可以通过检查其特征值的符号来实现。
以上是线性代数复习的主要内容提纲，希望对大家的学习有所帮助。通过反复练习和理解这些核心概念，相信你能够轻松应对相关考试和实际问题！
