求下列函数的定义域

在数学领域中，函数是描述变量之间关系的重要工具之一。而函数的定义域，则是指该函数能够正常运算的所有自变量取值范围。准确地求解函数的定义域不仅有助于理解函数的本质特性，还能帮助我们更好地分析和解决实际问题。

例如，对于常见的分式函数 $ f(x) = \frac{1}{x-3} $，我们需要确保分母不为零，因此其定义域为所有实数除 $ x=3 $ 的集合。再比如，涉及平方根的函数如 $ g(x) = \sqrt{x+5} $，则需要保证被开方数非负，即 $ x+5 \geq 0 $，从而得出定义域为 $ x \geq -5 $。

此外，在处理对数函数时，还需要特别注意底数大于零且不等于一，同时真数必须大于零。例如，函数 $ h(x) = \log_a(x^2-4) $ 要求 $ x^2-4 > 0 $，并且 $ a>0, a\neq 1 $。通过分解因式或结合图像分析，我们可以进一步细化这些条件。

值得注意的是，复合函数的定义域往往需要综合考虑多个子函数的要求。例如，若 $ F(x) = \ln(\sin x) $，既要满足 $ \sin x > 0 $（对数函数的真数要求），又要确保 $ \sin x $ 的值域落在对数函数的定义域内。这类题目通常需要结合三角函数的周期性与单调性进行深入探讨。

总之，求解函数的定义域是一项基础但至关重要的技能。它不仅考验了我们对基本数学概念的理解程度，还锻炼了解题过程中的逻辑推理能力。希望以上内容能为大家提供一些启发，并在实践中逐步提升相关技巧。

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