在学习自动控制原理的过程中，掌握基本的概念和理论是至关重要的。为了帮助大家更好地理解课程内容，下面将提供一些典型的题目及其参考答案，希望对大家的学习有所帮助。
首先，我们来看一个关于传递函数的基本问题：
例题1：
已知系统的微分方程为：
\[ T\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = Ku(t) \]
其中 \( T \) 和 \( K \) 为常数。求该系统的传递函数。
解答：
根据传递函数的定义，传递函数 \( G(s) \) 是系统输出 \( Y(s) \) 与输入 \( U(s) \) 的拉普拉斯变换之比。对给定的微分方程两边进行拉普拉斯变换（假设零初始条件），得到：
\[ TsY(s) + Y(s) = KU(s) \]
整理后可得：
\[ Y(s)(Ts + 1) = KU(s) \]
因此，传递函数为：
\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{Ts + 1} \]
接下来，我们考虑一个关于稳定性的问题：
例题2：
判断以下闭环系统的稳定性：
\[ G(s)H(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 2} \]
解答：
要判断系统的稳定性，我们需要检查闭环特征方程的根是否位于左半平面。特征方程为：
\[ 1 + G(s)H(s) = 0 \]
即：
\[ s^2 + 2s + 2 = 0 \]
使用求根公式计算根：
\[ s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm j \]
由于所有根都具有负实部，所以系统是稳定的。
最后，我们来看一个关于频率响应的问题：
例题3：
已知开环传递函数为：
\[ G(s) = \frac{10}{s(s+5)} \]
求其在单位阶跃输入下的稳态误差。
解答：
对于单位阶跃输入 \( R(s) = \frac{1}{s} \)，系统的稳态误差 \( e_{ss} \) 可以通过终值定理计算：
\[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} sE(s) \]
其中 \( E(s) = R(s) - Y(s) \)，且 \( Y(s) = G(s)R(s) \)。因此：
\[ E(s) = \frac{1}{s} - \frac{G(s)}{s} = \frac{1 - G(s)}{s} \]
代入 \( G(s) \)：
\[ E(s) = \frac{1 - \frac{10}{s(s+5)}}{s} = \frac{s(s+5) - 10}{s^2(s+5)} \]
利用终值定理：
\[ e_{ss} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s(s+5) - 10}{s^2(s+5)} = \lim_{s \to 0} \frac{s(s+5) - 10}{s(s+5)} \]
当 \( s \to 0 \) 时：
\[ e_{ss} = \frac{-10}{0} \]
这表明稳态误差为无穷大，说明系统无法准确跟踪单位阶跃输入。
以上是一些基础但重要的题目及其解答。希望这些例子能够帮助大家加深对自动控制原理的理解。如果还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时提问！
