在数学中，无穷级数是一种将无限多个数相加的过程。它在分析学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。无穷级数的基本公式是理解这一概念的基础。

无穷级数的一般形式可以表示为：

\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

其中 \(a_n\) 是级数的第n项。如果当n趋于无穷大时，部分和 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\) 的极限存在且有限，则称此无穷级数收敛；否则称为发散。

一些常见的无穷级数及其求和公式包括：

1. 几何级数：若 \(|r| < 1\)，则有

\[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r} \]

这里 \(a\) 是首项，\(r\) 是公比。

2. 调和级数：虽然调和级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 发散，但其部分和的增长速度与自然对数有关。

3. 泰勒级数：对于一个函数 \(f(x)\)，如果它在某点 \(x_0\) 处具有任意阶导数，则可以在该点展开成泰勒级数：

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

4. 幂级数：形如 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \) 的级数被称为幂级数，其中 \(c_n\) 和 \(a\) 是常数。

无穷级数的研究不仅帮助我们解决实际问题，还推动了数学理论的发展。通过这些基本公式，我们可以更好地理解和应用无穷级数的概念。