在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅在几何中有着广泛的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要作用。为了帮助同学们更好地掌握平面向量的相关概念与运算方法，以下是一些精选的练习题，并附有详细解答，供参考学习。
一、选择题
1. 向量 $ \vec{a} = (3, -4) $ 的模长是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：A
解析：向量的模长公式为 $ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
2. 已知向量 $ \vec{a} = (2, 3) $，$ \vec{b} = (-1, 4) $，则 $ \vec{a} + \vec{b} $ 等于（ ）
A. $ (1, 7) $
B. $ (1, 5) $
C. $ (3, 7) $
D. $ (2, 4) $
答案：A
解析：向量加法按分量相加，即 $ (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7) $
3. 若 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, 6) $，则 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 的关系是（ ）
A. 垂直
B. 相等
C. 反向
D. 共线
答案：D
解析：观察发现 $ \vec{b} = 3\vec{a} $，因此两向量方向相同，属于共线向量。
二、填空题
4. 向量 $ \vec{a} = (x, 5) $ 与 $ \vec{b} = (2, -10) $ 平行，则 $ x = $ ______。
答案：-1
解析：若两向量平行，则存在实数 $ k $，使得 $ \vec{a} = k\vec{b} $，即：
$$
(x, 5) = k(2, -10) = (2k, -10k)
$$
由 $ -10k = 5 $ 得 $ k = -\frac{1}{2} $，代入得 $ x = 2k = -1 $
5. 已知 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, 1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $ ______。
答案：5
解析：向量点积公式为 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 3 + 2 = 5 $
三、解答题
6. 已知向量 $ \vec{a} = (2, 1) $，$ \vec{b} = (-1, 3) $，求：
（1）$ \vec{a} + \vec{b} $
（2）$ \vec{a} - \vec{b} $
（3）$ |\vec{a}| $
答案：
（1）$ \vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), 1 + 3) = (1, 4) $
（2）$ \vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), 1 - 3) = (3, -2) $
（3）$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $
7. 已知向量 $ \vec{a} = (3, 4) $，$ \vec{b} = (x, 2) $，且 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 的夹角为 $ 90^\circ $，求 $ x $ 的值。
答案：$ x = -\frac{8}{3} $
解析：若两向量垂直，则其点积为零：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3x + 4 \times 2 = 0 \Rightarrow 3x + 8 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}
$$
四、拓展题
8. 设 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，若 $ \vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b} $，求 $ \vec{c} $ 的坐标。
答案：$ (2 \times 1 - 3, 2 \times 2 - (-1)) = (-1, 5) $
通过以上练习题的训练，可以帮助学生加深对平面向量基本概念的理解，熟练掌握向量的加减、点积、模长计算以及向量之间的关系判断。建议同学们在做题时注重过程推导，理解每一步的意义，这样才能真正掌握这一部分内容。
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