在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点，尤其是在高二阶段，学生开始系统地学习函数的导数及其应用。导数不仅是微积分的基础，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面提供一些典型的导数练习题，并附上详细的解题思路与答案。

一、基础题型

1. 求下列函数的导数：

（1）$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7 $

（2）$ g(x) = \frac{1}{x} $

（3）$ h(x) = \sqrt{x} $

解析：

（1）根据幂函数求导法则：

$ f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 $

（2）将 $ \frac{1}{x} $ 写成 $ x^{-1} $，则：

$ g'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} $

（3）将 $ \sqrt{x} $ 写成 $ x^{1/2} $，则：

$ h'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

二、复合函数求导

2. 求函数 $ y = (2x + 3)^5 $ 的导数。

解析：

使用链式法则：

设 $ u = 2x + 3 $，则 $ y = u^5 $，

所以 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4 $

三、应用题型

3. 已知某物体的位移函数为 $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $，求其速度和加速度函数，并求出当 $ t = 2 $ 时的速度和加速度。

解析：

速度是位移对时间的导数：

$ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 $

加速度是速度对时间的导数：

$ a(t) = v'(t) = 6t - 12 $

当 $ t = 2 $ 时：

$ v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 $

$ a(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0 $

四、极值问题

4. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $ 的极值点。

解析：

首先求导：

$ f'(x) = 3x^2 - 6x $

令导数等于零：

$ 3x^2 - 6x = 0 $

$ 3x(x - 2) = 0 $

得临界点 $ x = 0 $ 和 $ x = 2 $

再判断极值类型：

- 当 $ x < 0 $，$ f'(x) > 0 $，函数递增

- 当 $ 0 < x < 2 $，$ f'(x) < 0 $，函数递减

- 当 $ x > 2 $，$ f'(x) > 0 $，函数递增

因此，$ x = 0 $ 是极大值点，$ x = 2 $ 是极小值点。

五、综合题

5. 设函数 $ f(x) = x^2 \ln x $，求其导数，并求在 $ x = 1 $ 处的切线方程。

解析：

使用乘积法则：

$ f(x) = x^2 \cdot \ln x $

$ f'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x $

当 $ x = 1 $ 时：

$ f(1) = 1^2 \cdot \ln 1 = 0 $

$ f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1 $

切线方程为：

$ y - 0 = 1(x - 1) $

即：$ y = x - 1 $

结语

导数作为高中数学中的重点内容，不仅考查学生的计算能力，也涉及对函数性质的理解与应用。通过不断练习和总结，同学们可以逐步提高解题技巧，为后续的数学学习打下坚实的基础。希望以上练习题能对大家有所帮助！