在工程领域，尤其是信号处理、通信系统和控制系统中，周期函数的分析和处理是一项基础而重要的内容。傅里叶级数作为将周期性信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法，在工程实践中具有广泛的应用价值。本文将介绍几种在实际工程中常见的周期函数，并给出它们的傅里叶级数展开形式。
一、方波的傅里叶级数展开
方波是一种典型的周期函数，其特点是在一个周期内保持恒定的高电平或低电平。假设一个周期为 $2\pi$ 的奇对称方波，其表达式如下：
$$
f(t) =
\begin{cases}
1, & -\pi < t < 0 \\
-1, & 0 < t < \pi
\end{cases}
$$
该函数的傅里叶级数展开为：
$$
f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin t + \frac{\sin 3t}{3} + \frac{\sin 5t}{5} + \cdots \right)
$$
即：
$$
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{(2n-1)\pi} \sin((2n-1)t)
$$
这个展开式说明了方波可以由多个不同频率的正弦波叠加而成，且仅包含奇次谐波。
二、三角波的傅里叶级数展开
三角波是一种连续且对称的周期函数，其波形呈线性变化。设一个周期为 $2\pi$ 的对称三角波，其表达式如下：
$$
f(t) =
\begin{cases}
t + \pi, & -\pi < t < 0 \\
-t + \pi, & 0 < t < \pi
\end{cases}
$$
该函数的傅里叶级数展开为：
$$
f(t) = \frac{8}{\pi^2} \left( \cos t - \frac{\cos 3t}{9} + \frac{\cos 5t}{25} - \cdots \right)
$$
即：
$$
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 8}{(2n-1)^2 \pi^2} \cos((2n-1)t)
$$
可以看出，三角波的傅里叶级数中只含有余弦项，且各次谐波的幅度随频率的平方递减。
三、锯齿波的傅里叶级数展开
锯齿波是一种非对称的周期函数，其波形在一周期内从零上升至最大值后突然下降回零。设一个周期为 $2\pi$ 的锯齿波，其表达式为：
$$
f(t) = \frac{t}{\pi}, \quad -\pi < t < \pi
$$
该函数的傅里叶级数展开为：
$$
f(t) = \frac{2}{\pi} \left( \sin t - \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} - \cdots \right)
$$
即：
$$
f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2}{n\pi} \sin(nt)
$$
锯齿波的傅里叶级数包含了所有频率的正弦分量，且振幅随频率成反比衰减。
四、总结
通过对上述几种典型周期函数的傅里叶级数展开分析可以看出，不同的波形在频域中的表现形式各有特点：
- 方波：仅含奇次正弦谐波；
- 三角波：仅含奇次余弦谐波，幅度随频率平方衰减；
- 锯齿波：包含所有次谐波，幅度与频率成反比。
这些展开式不仅有助于理解信号的频谱特性，也为工程中的滤波设计、信号合成与分析提供了理论依据。掌握这些基本函数的傅里叶级数表示，是进行更复杂信号处理的基础之一。
