在《信号与线性系统分析》这门课程中，第七章主要围绕系统的频域分析展开，内容涵盖了傅里叶变换、频域响应、系统函数以及频率特性等多个重要概念。作为吴大正教授编写的经典教材之一，第四版的第七章在理论深度和实际应用上都有较高的参考价值。为了帮助学习者更好地掌握本章知识点，下面将对部分典型习题进行详细解答与分析。
一、傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换是将时域信号转换为频域表示的重要工具，能够揭示信号的频率组成。第七章中的许多题目都围绕这一核心思想展开。例如，一些题目要求计算特定信号的傅里叶变换或逆变换，这类问题需要熟练掌握傅里叶变换的定义式及其性质，如线性性、时移性、频移性等。
例题：求信号 $ f(t) = e^{-a|t|} $ 的傅里叶变换。
解法：
根据傅里叶变换的定义：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
由于 $ f(t) = e^{-a|t|} $ 是一个偶函数，可拆分为两部分积分：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{at} e^{-j\omega t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt
$$
分别计算后合并得到：
$$
F(\omega) = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}
$$
二、系统函数与频率响应
系统函数 $ H(s) $ 是描述线性时不变系统输入输出关系的拉普拉斯变换形式，而其在 $ s = j\omega $ 处的值即为系统的频率响应 $ H(j\omega) $。第七章中许多题目涉及如何通过系统函数求取频率响应，并进一步分析系统的幅频特性和相频特性。
例题：已知某系统的系统函数为 $ H(s) = \frac{s+1}{s^2 + 3s + 2} $，求其频率响应。
解法：
将 $ s = j\omega $ 代入系统函数：
$$
H(j\omega) = \frac{j\omega + 1}{(j\omega)^2 + 3j\omega + 2}
= \frac{j\omega + 1}{-\omega^2 + 3j\omega + 2}
$$
化简后可得：
$$
H(j\omega) = \frac{j\omega + 1}{(2 - \omega^2) + j3\omega}
$$
进一步计算其模和相位，可以得出系统的幅频和相频特性。
三、系统的稳定性与因果性
在第七章中，还涉及了系统的稳定性和因果性的判断。一个系统稳定的条件是其系统函数的所有极点位于复平面的左半平面；而因果系统则要求其冲激响应在 $ t < 0 $ 时为零。
例题：判断系统函数 $ H(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 5} $ 是否稳定。
解法：
首先求出系统函数的极点：
$$
s^2 + 2s + 5 = 0 \Rightarrow s = -1 \pm j2
$$
由于极点位于复平面的左半平面，因此该系统是稳定的。
四、滤波器设计与频率响应分析
第七章还介绍了滤波器的设计方法，包括低通、高通、带通和带阻滤波器的频率响应特性。通过对系统函数的分析，可以设计出符合特定频率需求的滤波器。
例题：设计一个理想低通滤波器，截止频率为 $ \omega_c = 2\pi $。
解法：
理想低通滤波器的频率响应为：
$$
H(j\omega) =
\begin{cases}
1, & |\omega| \leq \omega_c \\
0, & |\omega| > \omega_c
\end{cases}
$$
其对应的冲激响应为：
$$
h(t) = \frac{\sin(\omega_c t)}{\pi t}
$$
虽然理想滤波器在现实中无法实现，但其理论分析对理解实际滤波器的设计具有重要意义。
五、总结
第七章的内容是理解信号与系统频域分析的关键环节。通过对傅里叶变换、系统函数、频率响应以及系统稳定性的深入学习，可以帮助我们更好地分析和设计各种线性系统。建议在学习过程中多做练习题，结合图形化分析，加深对频域特性的理解。
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