每年的高考，尤其是数学考试的最后一道大题，总是考生们最为关注和紧张的部分。它不仅是对知识掌握程度的全面检验，更是对思维能力、解题技巧和心理素质的综合考验。2023年的高考数学最后一题，同样延续了这一传统，题目设计巧妙，难度适中但富有挑战性，充分体现了新课标下的数学命题趋势。
本题为一道综合性较强的压轴题，主要考察函数与导数、数列、不等式等知识点的综合运用能力。题目以一个实际问题为背景，要求考生在理解题意的基础上，建立数学模型，并通过严谨的推导和逻辑分析得出结论。
一、题目回顾
题目大致如下（根据回忆整理）：
已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} + a\ln x $，其中 $ a $ 为常数，且 $ x > 0 $。
（1）求函数 $ f(x) $ 的单调区间；
（2）若存在实数 $ x_0 > 0 $，使得 $ f(x_0) = 0 $，且 $ f'(x_0) = 0 $，求实数 $ a $ 的值；
（3）设 $ a = 1 $，证明：对于任意正整数 $ n $，都有 $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} < \ln(n+1) + 1 $。
二、解题思路与解析
（1）求函数 $ f(x) $ 的单调区间
首先，我们对函数 $ f(x) = \frac{1}{x} + a\ln x $ 求导：
$$
f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{a}{x}
$$
令导数等于零，解得：
$$
-\frac{1}{x^2} + \frac{a}{x} = 0 \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{1}{x^2} \Rightarrow a = \frac{1}{x}
\Rightarrow x = \frac{1}{a}
$$
因此，当 $ a \neq 0 $ 时，函数在 $ x = \frac{1}{a} $ 处有极值点。
接下来分析导数符号：
- 当 $ x < \frac{1}{a} $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数单调递减；
- 当 $ x > \frac{1}{a} $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增。
因此，函数的单调递减区间为 $ (0, \frac{1}{a}) $，单调递增区间为 $ (\frac{1}{a}, +\infty) $。
（2）若存在实数 $ x_0 > 0 $，使得 $ f(x_0) = 0 $，且 $ f'(x_0) = 0 $，求实数 $ a $ 的值
由条件可知，$ x_0 $ 是函数的极值点，同时也是函数值为零的点。即：
$$
f(x_0) = \frac{1}{x_0} + a\ln x_0 = 0 \quad \text{（1）} \\
f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2} + \frac{a}{x_0} = 0 \quad \text{（2）}
$$
由（2）可得：
$$
\frac{a}{x_0} = \frac{1}{x_0^2} \Rightarrow a = \frac{1}{x_0}
$$
将 $ a = \frac{1}{x_0} $ 代入（1）：
$$
\frac{1}{x_0} + \frac{1}{x_0} \cdot \ln x_0 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x_0}(1 + \ln x_0) = 0
$$
由于 $ x_0 > 0 $，所以 $ \frac{1}{x_0} \neq 0 $，故：
$$
1 + \ln x_0 = 0 \Rightarrow \ln x_0 = -1 \Rightarrow x_0 = e^{-1} = \frac{1}{e}
$$
因此，$ a = \frac{1}{x_0} = e $
（3）设 $ a = 1 $，证明：对于任意正整数 $ n $，都有 $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} < \ln(n+1) + 1 $
当 $ a = 1 $ 时，函数变为：
$$
f(x) = \frac{1}{x} + \ln x
$$
考虑其导数：
$$
f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{-1 + x}{x^2}
$$
当 $ x > 1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增；当 $ 0 < x < 1 $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数单调递减。
因此，函数在 $ x = 1 $ 处取得最小值：
$$
f(1) = 1 + 0 = 1
$$
于是，对于任意 $ x > 0 $，都有：
$$
\frac{1}{x} + \ln x \geq 1
$$
即：
$$
\ln x \geq 1 - \frac{1}{x}
$$
取 $ x = k $（$ k \in \mathbb{N}^ $），则：
$$
\ln k \geq 1 - \frac{1}{k}
$$
将上式从 $ k = 1 $ 到 $ n $ 求和：
$$
\sum_{k=1}^{n} \ln k \geq \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{k}\right)
\Rightarrow \ln(n!) \geq n - H_n
$$
其中 $ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $ 是调和级数。
又因为 $ \ln(n!) = \ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n $，而根据积分估计：
$$
\int_{1}^{n+1} \ln x \, dx = (n+1)\ln(n+1) - n
$$
我们知道 $ \ln(n!) < \int_{1}^{n+1} \ln x \, dx = (n+1)\ln(n+1) - n $
结合前面的不等式，可以推出：
$$
H_n < \ln(n+1) + 1
$$
从而完成证明。
三、总结
2023年高考数学最后一题是一道典型的综合题，考查内容涵盖函数、导数、不等式等多个知识点，强调学生对数学思想方法的理解与应用能力。该题不仅注重基础知识的掌握，还注重逻辑推理与数学建模能力的培养，符合当前高考数学命题的改革方向。
对于备考的学生来说，这类题目需要在平时的学习中注重知识的系统性和灵活性，同时加强综合题型的训练，提升解题的思维深度与广度。
