在高中阶段，数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维能力和数学素养有着重要影响。高一数学必修一的内容涵盖了集合、函数、基本初等函数、指数函数与对数函数等多个知识点，是后续学习的重要基础。为了帮助学生更好地掌握这些内容，以下是一套高一数学必修一的考试题目及详细解答，供参考和练习。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 设集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，$ B = \{2, 3, 4\} $，则 $ A \cap B $ 等于（ ）
A. $\{1, 2, 3, 4\}$
B. $\{2, 3\}$
C. $\{1, 4\}$
D. $\emptyset$
2. 下列函数中，定义域为全体实数的是（ ）
A. $ y = \frac{1}{x} $
B. $ y = \sqrt{x} $
C. $ y = x^2 $
D. $ y = \log x $
3. 若函数 $ f(x) = 2x + 1 $，则 $ f(3) = $（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4. 函数 $ y = \log_2 x $ 的图像是（ ）
A. 过点 (1, 0) 的递增曲线
B. 过点 (0, 1) 的递减曲线
C. 过点 (1, 0) 的递减曲线
D. 过点 (0, 1) 的递增曲线
5. 已知 $ a = 2^3 $，$ b = 3^2 $，则 $ a $ 与 $ b $ 的大小关系是（ ）
A. $ a > b $
B. $ a < b $
C. $ a = b $
D. 无法比较
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 集合 $ \{x | x^2 - 4 = 0\} $ 的元素是 ________。
7. 函数 $ y = \frac{1}{x-1} $ 的定义域是 ________。
8. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x = $ ________。
9. 已知函数 $ f(x) = 2x - 5 $，则 $ f(-1) = $ ________。
10. 指数函数 $ y = a^x $ 在 $ a > 1 $ 时是 ________ 函数（填“增”或“减”）。
三、解答题（共60分）
11. （10分）已知集合 $ A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} $，求集合 $ A $ 的所有子集。
12. （10分）设函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 1 $，求：
（1）该函数的图像开口方向；
（2）顶点坐标；
（3）当 $ x = 2 $ 时的函数值。
13. （15分）解下列方程：
（1）$ \log_2 (x + 1) = 3 $；
（2）$ 2^{x+1} = 8 $。
14. （15分）已知函数 $ f(x) = \log_3 (x - 2) $，求：
（1）定义域；
（2）若 $ f(a) = 1 $，求 $ a $ 的值；
（3）判断该函数在定义域内的单调性。
15. （10分）某商品原价为 100 元，现连续两次降价，每次降价 10%，求最终售价是多少？
四、答案与解析
一、选择题答案
1. B
2. C
3. C
4. A
5. A
二、填空题答案
6. $ \{-2, 2\} $
7. $ x \neq 1 $
8. 3
9. -7
10. 增
三、解答题解析
11. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 解得 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $，所以 $ A = \{2, 3\} $。其子集有：
$ \emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\} $，共 4 个。
12.
（1）开口向上；
（2）顶点为 $ (1, 0) $；
（3）$ f(2) = 2^2 - 2×2 + 1 = 1 $。
13.
（1）$ x + 1 = 2^3 = 8 $，故 $ x = 7 $；
（2）$ 2^{x+1} = 2^3 $，故 $ x + 1 = 3 $，解得 $ x = 2 $。
14.
（1）定义域为 $ x > 2 $；
（2）由 $ \log_3 (a - 2) = 1 $ 得 $ a - 2 = 3 $，故 $ a = 5 $；
（3）该函数在定义域内是增函数。
15. 第一次降价后价格为 $ 100 × 0.9 = 90 $，第二次为 $ 90 × 0.9 = 81 $ 元。
通过这套试题的练习，可以帮助学生巩固高一数学必修一的核心知识点，提高解题能力。建议在考试前进行系统复习，并结合历年真题进行强化训练。
