【线性代数考试试卷及答案】以下是一份关于线性代数的考试试卷及参考答案，适用于大学本科阶段的线性代数课程。本试卷旨在考查学生对矩阵运算、行列式、向量空间、特征值与特征向量等基本概念的理解和应用能力。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式为：
- A. 2
- B. -2
- C. 5
- D. -5
2. 向量组 $ \vec{v}_1 = (1, 0, 1) $, $ \vec{v}_2 = (0, 1, 1) $, $ \vec{v}_3 = (1, 1, 2) $ 的线性相关性为：
- A. 线性无关
- B. 线性相关
- C. 不确定
- D. 无法判断
3. 若矩阵 $ A $ 是一个 $ 3 \times 3 $ 的正交矩阵，则其行列式的可能取值为：
- A. 1
- B. -1
- C. 0
- D. 1 或 -1
4. 设 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，那么 $ \lambda^2 $ 是下列哪个矩阵的特征值？
- A. $ A + I $
- B. $ A^2 $
- C. $ A^{-1} $
- D. $ A^T $
5. 下列哪一个不是向量空间的定义条件？
- A. 加法封闭
- B. 标量乘法封闭
- C. 包含零向量
- D. 每个向量都有逆元
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $，若 $ A $ 可逆，则其逆矩阵为 ____________。
2. 向量 $ \vec{u} = (2, -1, 3) $ 与 $ \vec{v} = (1, 2, -1) $ 的点积为 ____________。
3. 若矩阵 $ A $ 的秩为 2，且 $ A $ 是一个 $ 3 \times 4 $ 矩阵，则其零空间的维数为 ____________。
4. 若矩阵 $ A $ 的特征多项式为 $ (\lambda - 1)(\lambda + 2)^2 $，则其特征值为 ____________。
5. 若 $ \vec{v} $ 是矩阵 $ A $ 的单位特征向量，则 $ A\vec{v} = \lambda \vec{v} $ 中的 $ \lambda $ 称为 ____________。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 计算矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $ 的行列式。
2. 求解方程组：
$$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + z = 3 \\
x + 2y - z = 2
\end{cases}
$$
3. 已知矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $，求其特征值与对应的特征向量。
4. 设向量 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (4, 5, 6) $，求它们的夹角（用弧度表示）。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若矩阵 $ A $ 是可逆的，则 $ A^T $ 也是可逆的，且 $ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $。
2. 证明：若 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，则 $ \lambda^n $ 是矩阵 $ A^n $ 的特征值（其中 $ n $ 为正整数）。
参考答案
一、选择题
1. B
2. B
3. D
4. B
5. D
二、填空题
1. $ \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $
2. 2
3. 2
4. 1, -2, -2
5. 特征值
三、计算题
1. 行列式为 0
2. 解为 $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ z = 3 $
3. 特征值为 3 和 1，对应特征向量分别为 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ 和 $ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $
4. 夹角约为 0.225 弧度
四、证明题
略（可根据线性代数教材内容进行推导）
如需进一步解析或扩展练习题，请随时告知。
