【中考数学人教版专题复习:有理数的定义及分类学案x】一、学习目标

1. 理解有理数的基本概念，掌握其定义；

2. 能够正确区分有理数与非有理数（如无理数）；

3. 掌握有理数的不同分类方式；

4. 能运用有理数的相关知识解决实际问题。

二、知识回顾

在初中数学中，我们已经初步接触了整数、分数、小数等基本数的概念。随着学习的深入，我们需要更系统地认识“有理数”这一重要的数学概念。

三、有理数的定义

有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即形如 $ \frac{a}{b} $（其中 $ a $、$ b $ 为整数，且 $ b \neq 0 $）的数。

换句话说，如果一个数可以写成分数的形式，那么它就是有理数。

例如：

- $ 3 = \frac{3}{1} $

- $ -2.5 = \frac{-5}{2} $

- $ 0.333... = \frac{1}{3} $

这些数都可以表示为分数，因此都属于有理数。

四、有理数的分类

有理数可以根据不同的标准进行分类，常见的分类方式如下：

1. 按数的性质分类

- 正有理数：大于0的有理数，如 $ 1, \frac{2}{3}, 0.75 $

- 负有理数：小于0的有理数，如 $ -1, -\frac{3}{4}, -2.6 $

- 零：既不是正数也不是负数，是特殊的有理数。

2. 按数的形式分类

- 整数：包括正整数、负整数和零，如 $ -3, 0, 5 $

- 分数：包括有限小数和无限循环小数，如 $ 0.5, \frac{1}{3}, -1.2323... $

> 注意：整数可以看作分母为1的分数，所以整数也属于有理数。

3. 按是否为自然数分类

- 自然数：通常指非负整数（0, 1, 2, 3, ...），自然数属于有理数。

- 非自然数：如负整数或分数，也属于有理数。

五、有理数与无理数的区别

| 特征 | 有理数 | 无理数 |

|------|--------|--------|

| 表示形式 | 可以表示为分数 | 不能表示为分数 |

| 小数形式 | 有限小数或无限循环小数 | 无限不循环小数 |

| 举例 | $ 0.5, \frac{2}{3}, -4 $ | $ \sqrt{2}, \pi, e $ |

六、典型例题解析

例题1：判断下列各数是否为有理数：

- $ 0.333... $

- $ \sqrt{9} $

- $ \pi $

- $ -\frac{7}{2} $

解析：

- $ 0.333... = \frac{1}{3} $，是有理数；

- $ \sqrt{9} = 3 $，是有理数；

- $ \pi $ 是无限不循环小数，不是有理数；

- $ -\frac{7}{2} $ 是分数，是有理数。

七、课堂练习

1. 下列哪些数是有理数？

$ 2.5, \sqrt{5}, -3, \frac{1}{2}, 0.121212..., \pi $

2. 将下列数按分类填入相应位置：

正有理数、负有理数、零

$ -1.5, 0, 4, \frac{3}{4}, -2.7 $

八、总结

通过本节课的学习，我们了解了有理数的定义及其多种分类方式，明确了有理数与无理数的本质区别。在今后的学习中，我们要灵活运用这些知识，提升对数的理解与应用能力。

九、课后拓展

尝试查阅资料，了解“无理数”的历史背景，思考为什么人类会发现并研究这类数。这有助于我们更全面地理解数学的发展过程。

备注：本学案内容根据人教版教材编写，适用于中考前专题复习使用。