【流体力学中的三大方程例题】在流体力学中，伯努利方程、连续性方程和动量方程是分析流体运动的三大基础方程。它们分别描述了能量守恒、质量守恒以及动量变化的基本规律。以下将通过典型例题的形式，对这三大方程进行总结，并以表格形式展示答案。
一、连续性方程（质量守恒）
公式：
$$ A_1 v_1 = A_2 v_2 $$
说明： 在不可压缩流体的一维稳定流动中，流体的体积流量保持不变。
例题1：
一根水平放置的水管，直径由0.3m变为0.15m，若入口处流速为2m/s，求出口处的流速。
解答：
- $ A_1 = \frac{\pi}{4} \times (0.3)^2 = 0.0707 \, m^2 $
- $ A_2 = \frac{\pi}{4} \times (0.15)^2 = 0.0177 \, m^2 $
根据连续性方程：
$$ v_2 = \frac{A_1}{A_2} \times v_1 = \frac{0.0707}{0.0177} \times 2 = 8 \, m/s $$
二、伯努利方程（能量守恒）
公式：
$$ p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数} $$
说明： 在理想不可压缩流体的稳定流动中，单位质量流体的总机械能保持不变。
例题2：
水从一个高位水箱流出，水箱顶部与大气相通，水深为10m，出口处直径为0.1m，求出口处水流速度。
解答：
- 假设水箱顶部压力为大气压 $ p_1 = 0 $（表压）
- 出口处压力也为大气压 $ p_2 = 0 $
- 高度差 $ h = 10 \, m $
根据伯努利方程：
$$ \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h = 0 \Rightarrow v_2 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 10} \approx 14 \, m/s $$
三、动量方程（动量守恒）
公式：
$$ \sum F = \dot{m}(v_{\text{out}} - v_{\text{in}}) $$
说明： 流体在流动过程中受到的合力等于其动量的变化率。
例题3：
水流以10m/s的速度垂直冲击一个固定平板，平板面积为0.5m²，求水流对平板的作用力。
解答：
- 水的密度 $ \rho = 1000 \, kg/m^3 $
- 流量 $ Q = A \times v = 0.5 \times 10 = 5 \, m^3/s $
- 质量流量 $ \dot{m} = \rho Q = 1000 \times 5 = 5000 \, kg/s $
由于水流被平板完全阻挡，出口速度为0，故作用力为：
$$ F = \dot{m} v = 5000 \times 10 = 50000 \, N $$
四、例题总结表格
| 题号 | 方程类型 | 已知条件 | 解答结果 | 公式应用 |
| 1 | 连续性方程 | 直径0.3m → 0.15m，v₁=2m/s | v₂=8m/s | $ A_1 v_1 = A_2 v_2 $ |
| 2 | 伯努利方程 | h=10m，p₁=p₂=0 | v₂≈14m/s | $ v = \sqrt{2gh} $ |
| 3 | 动量方程 | v=10m/s，A=0.5m² | F=50000N | $ F = \dot{m} v $ |
通过以上例题可以看出，流体力学中的三大方程在实际问题中具有广泛的应用价值。掌握这些基本方程及其应用场景，有助于更深入地理解流体运动的本质。
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