【斐波那契通项公式推导】斐波那契数列是数学中一个非常经典且广泛应用的数列，其定义为：
$$ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 2) $$
该数列的前几项为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
虽然斐波那契数列可以通过递归方式计算，但当 $ n $ 很大时，这种方法效率较低。因此，人们希望找到一种直接计算第 $ n $ 项的方法，即通项公式。
推导过程概述
斐波那契数列的通项公式可以通过特征方程法进行推导。具体步骤如下：
1. 建立递推关系：
已知 $ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $
2. 构造特征方程：
假设解的形式为 $ F_n = r^n $，代入递推式得：
$$
r^n = r^{n-1} + r^{n-2}
$$
两边同时除以 $ r^{n-2} $，得到特征方程：
$$
r^2 = r + 1 \quad \Rightarrow \quad r^2 - r - 1 = 0
$$
3. 求解特征方程：
解这个二次方程：
$$
r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
$$
所以两个根为：
$$
r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
$$
这两个根也被称为黄金分割比（记作 $ \phi $ 和 $ \psi $）。
4. 写出通项形式：
由于这是一个二阶线性齐次递推关系，其通项形式为：
$$
F_n = A \cdot r_1^n + B \cdot r_2^n
$$
其中 $ A $、$ B $ 由初始条件确定。
5. 利用初始条件求系数：
根据 $ F_0 = 0 $ 和 $ F_1 = 1 $，可得：
$$
\begin{cases}
A + B = 0 \\
A \cdot r_1 + B \cdot r_2 = 1
\end{cases}
$$
解得：
$$
A = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad B = -\frac{1}{\sqrt{5}}
$$
6. 最终通项公式：
将 $ A $、$ B $ 代入通项形式，得到：
$$
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)
$$
总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 定义斐波那契数列：$ F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} $ |
| 2 | 构造特征方程：$ r^2 - r - 1 = 0 $ |
| 3 | 求解特征方程：$ r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $ |
| 4 | 通项形式为：$ F_n = A \cdot r_1^n + B \cdot r_2^n $ |
| 5 | 利用初始条件 $ F_0 = 0 $, $ F_1 = 1 $，求得 $ A = \frac{1}{\sqrt{5}}, B = -\frac{1}{\sqrt{5}} $ |
| 6 | 最终通项公式：$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right) $ |
结语
通过上述推导过程，我们得到了斐波那契数列的通项公式，这不仅有助于快速计算任意项的值，还揭示了斐波那契数列与黄金分割比之间的深刻联系。此公式在数学、计算机科学、生物学等多个领域都有广泛应用。
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