【矢量叉乘坐标公式】在向量运算中，矢量叉乘（也称向量积或外积）是一种重要的数学工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。矢量叉乘的结果是一个与原两个矢量都垂直的矢量，其方向由右手定则决定，大小等于两个矢量所构成的平行四边形面积。

本文将总结矢量叉乘的基本公式，并通过表格形式展示其在不同坐标系下的计算方式。

一、矢量叉乘的基本概念

设矢量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，结果是一个新的矢量 c = (c₁, c₂, c₃)，其计算公式如下：

$$

\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

展开后可得：

$$

\mathbf{c} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

即：

$$

\mathbf{c} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

二、矢量叉乘坐标公式总结表

三、应用说明

1. 方向：叉乘结果的方向垂直于 a 和 b 所在的平面，遵循右手螺旋法则。

2. 大小：叉乘的模长为 absinθ，其中 θ 是两矢量之间的夹角。

3. 用途：常用于计算力矩、旋转轴、法向量等。

四、示例计算

假设 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

- x 分量：2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3

- y 分量：3×4 - 1×6 = 12 - 6 = 6

- z 分量：1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3

因此，a × b = (-3, 6, -3)

五、总结

矢量叉乘是向量运算中的重要工具，能够快速得到一个与原矢量垂直的新矢量。掌握其坐标公式对于理解空间几何关系、物理力学问题具有重要意义。通过上述表格和公式，可以方便地进行相关计算和应用。

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