【数学期望和方差的几条公式】在概率论与数理统计中，数学期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。数学期望反映了随机变量的“平均值”，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式的应用对于理解和分析随机现象具有重要意义。
以下是对数学期望和方差的一些常见公式的总结，便于学习和查阅。
一、数学期望的基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 离散型随机变量的期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) $ | $ X $ 取值为 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应概率为 $ P(X = x_i) $ |
| 连续型随机变量的期望 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | $ f(x) $ 是概率密度函数 |
| 线性性质 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | $ a $、$ b $ 为常数 |
| 期望的线性组合 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | $ X $、$ Y $ 为随机变量 |
二、方差的基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 方差定义 | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] $ | 衡量随机变量与其均值的偏离程度 |
| 方差展开式 | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 更方便计算的表达形式 |
| 常数的方差 | $ \text{Var}(a) = 0 $ | 常数的方差为零 |
| 线性变换后的方差 | $ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $ | $ a $、$ b $ 为常数 |
| 独立变量的方差 | $ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) $ | 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立 |
| 协方差相关 | $ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) $ | 若 $ X $ 与 $ Y $ 不独立 |
三、常见分布的期望与方差
| 分布类型 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
数学期望和方差是概率统计中非常基础但极其重要的概念，它们不仅用于理论分析，也广泛应用于实际问题的建模与预测中。掌握这些公式的含义及使用方法，有助于更好地理解随机变量的行为特征，并为后续的学习打下坚实的基础。
通过表格的形式对这些公式进行整理，可以更清晰地看到不同情况下的计算方式，便于记忆与应用。希望本文能够帮助读者系统地复习和巩固这一部分内容。
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