【高中超几何分布公式】在高中数学中，超几何分布是一种重要的概率分布模型，常用于不放回抽样问题的计算。它与二项分布不同，二项分布是放回抽样的模型，而超几何分布适用于从有限总体中不放回地抽取样本的情况。以下是对高中阶段超几何分布公式的总结。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布描述的是：在包含成功项和失败项的有限总体中，不放回地抽取一定数量的样本，其中恰好有k个成功项的概率。
公式：
$$
P(X = k) = \frac{\dbinom{K}{k} \cdot \dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}
$$
其中：
- $ N $：总体中的个体总数
- $ K $：总体中具有某种特征（成功）的个体数
- $ n $：抽取的样本数
- $ k $：在样本中具有该特征的个体数
- $ \dbinom{a}{b} $：组合数，表示从a个元素中取出b个的组合方式数
二、超几何分布的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 抽奖活动 | 如从一批奖券中抽取若干张，求其中中奖券的数量 |
| 质量检测 | 从一批产品中抽检，求合格品数量 |
| 招聘选拔 | 从候选人中随机抽取若干人进行面试，统计某类人才的比例 |
三、超几何分布与二项分布的区别
| 特征 | 超几何分布 | 二项分布 |
| 抽样方式 | 不放回 | 放回 |
| 总体大小 | 有限 | 无限或可视为无限 |
| 成功概率 | 随每次抽取变化 | 固定不变 |
| 适用情况 | 小样本抽取 | 大样本或重复试验 |
四、典型例题解析
题目： 一个班级有30名学生，其中10名是女生。从中随机抽取5名学生，求恰好有2名女生的概率。
解法：
- $ N = 30 $，$ K = 10 $，$ n = 5 $，$ k = 2 $
代入公式：
$$
P(X = 2) = \frac{\dbinom{10}{2} \cdot \dbinom{20}{3}}{\dbinom{30}{5}}
$$
计算得：
- $ \dbinom{10}{2} = 45 $
- $ \dbinom{20}{3} = 1140 $
- $ \dbinom{30}{5} = 142506 $
所以：
$$
P(X = 2) = \frac{45 \times 1140}{142506} \approx 0.359
$$
即，抽到2名女生的概率约为35.9%。
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 分布名称 | 超几何分布 |
| 公式 | $ P(X = k) = \frac{\dbinom{K}{k} \cdot \dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}} $ |
| 关键参数 | $ N, K, n, k $ |
| 适用条件 | 不放回抽样，总体有限 |
| 与二项分布区别 | 抽样方式不同，概率变化 |
| 实际应用 | 抽奖、质量检测、招聘等 |
通过以上内容，我们可以更清晰地理解高中阶段的超几何分布公式及其实际意义，为今后的学习打下坚实基础。
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