【长方体外接球半径公式推导过程】在几何学中，长方体的外接球是指一个球体，其表面恰好经过长方体的所有顶点。要找到这个外接球的半径，我们需要理解长方体的空间对角线与球体之间的关系。
一、基本概念
- 长方体：由六个矩形面组成的立体图形，有长、宽、高三个维度。
- 外接球：一个球体，其表面经过长方体所有8个顶点。
- 外接球半径：从球心到长方体任意一个顶点的距离。
二、推导思路
1. 确定长方体空间对角线长度
长方体的空间对角线是从一个顶点出发，穿过内部到达对面顶点的线段。根据三维空间中的勾股定理，空间对角线 $ d $ 的长度可以表示为：
$$
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
$$
其中，$ a, b, c $ 分别为长方体的长、宽、高。
2. 外接球的直径等于长方体的空间对角线
因为外接球必须包含长方体的所有顶点，所以它的直径就是长方体的空间对角线长度。
3. 计算外接球半径
球的半径是直径的一半，因此外接球的半径 $ R $ 为：
$$
R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}
$$
三、总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定长方体的长、宽、高分别为 $ a, b, c $ |
| 2 | 计算空间对角线长度：$ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $ |
| 3 | 外接球的直径等于空间对角线长度 |
| 4 | 外接球半径为直径的一半：$ R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2} $ |
四、结论
通过上述推导，我们得出长方体外接球的半径公式为：
$$
R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}
$$
该公式适用于任何长方体，无论其长宽高是否相等。若长方体为正方体（即 $ a = b = c $），则公式可简化为：
$$
R = \frac{a\sqrt{3}}{2}
$$
通过这种直观的几何分析，我们可以清楚地理解长方体与外接球之间的关系，并准确计算出外接球的半径。
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