【向量积的全部公式】在向量运算中，向量积（又称叉积）是两个向量相乘后得到一个新向量的运算方式。向量积广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域，用于计算面积、体积、旋转方向等。本文将总结向量积的基本公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、向量积的定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 是一个与 a 和 b 都垂直的新向量，其方向由右手定则确定，大小为：
$$
$$
其中 θ 是两向量之间的夹角。
二、向量积的计算公式
1. 代数表达式
向量积的代数表示如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
2. 分量形式
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 结合律（不成立） | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \neq (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 4. 与标量乘法 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 5. 垂直性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 a 和 b 都垂直 | ||||||
| 6. 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ |
四、特殊情形
| 情况 | 公式 | 说明 | ||||||
| 1. 同向或反向 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | 当 a 与 b 平行时，向量积为零向量 | ||||||
| 2. 单位向量 | $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k},\ \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i},\ \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ | 标准单位向量之间的叉积遵循右手定则 | ||||||
| 3. 正交向量 | 若 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$，则 $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | $ | 此时夹角为90°，$\sin\theta = 1$ |
五、向量积的应用
| 应用领域 | 用途 |
| 物理学 | 计算力矩、磁力、角动量等 |
| 工程学 | 结构分析、应力应变计算 |
| 计算机图形学 | 确定法线方向、光照计算 |
| 数学 | 求平面方程、空间几何问题 |
六、总结
向量积是向量运算中的重要工具，能够帮助我们理解三维空间中向量之间的关系。掌握其基本公式和性质，有助于在多个学科中灵活应用。通过上述表格，可以快速查阅向量积的各类公式及应用场景。
表：向量积公式汇总
| 类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 定义 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta \cdot \mathbf{n}$ | n 是垂直于 a 和 b 的单位向量 | |
| 代数表达 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | 通过行列式展开计算 | ||||
| 分量形式 | $(a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$ | 向量积的三个分量 | ||||
| 特殊情况 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | 当 a 与 b 平行时 | ||||
| 单位向量 | $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ | 右手定则下的标准结果 |
以上内容是对向量积相关公式的全面总结，适用于学习、教学以及实际应用。
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