【三角函数变换公式总结】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决三角问题的重要工具。掌握这些公式不仅有助于简化计算，还能提高解题效率。以下是对常见三角函数变换公式的系统总结，便于查阅与记忆。
一、基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和正割相关 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切定义 |
| $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ | 余切定义 |
二、诱导公式（角度变化）
| 角度变化 | 变换公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 对称于$\pi/2$ |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 对称于$\pi/2$ |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 对称于$\pi$ |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 对称于$\pi$ |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 对称于$2\pi$ |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 对称于$2\pi$ |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的二倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的二倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 正切的半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 正弦与余弦乘积 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 余弦乘积 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 正弦乘积 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦和化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦和化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦差化积 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4}$ | 三次方公式 |
| $\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}$ | 三次方公式 |
| $\sin^4\theta = \frac{3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$ | 四次方公式 |
| $\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$ | 四次方公式 |
通过以上表格形式的整理，可以清晰地看到各类三角函数变换公式的应用范围和使用方法。建议在学习过程中结合具体题目进行练习，以加深理解和记忆。同时，注意不同公式之间的联系与转换，有助于提升整体的数学思维能力。
