【等差数列前n项和公式】等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的差为定值，这个定值称为公差。在实际应用中，我们常常需要计算等差数列的前n项和，以解决各种实际问题。本文将对等差数列前n项和公式进行总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、等差数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
- 通项公式：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
二、等差数列前n项和公式
等差数列前n项和是指从第一项开始到第n项的所有项的总和，记作 $ S_n $。
公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或者也可以写成：
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
这两个公式是等价的，可以根据已知条件选择使用。
三、公式推导思路（简要）
等差数列前n项和的公式可以通过“倒序相加法”来推导：
1. 写出前n项和：
$$
S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n
$$
2. 将其倒序排列：
$$
S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1
$$
3. 将两式相加：
$$
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)
$$
4. 每一项之和都是 $ a_1 + a_n $，共有n项，因此：
$$
2S_n = n(a_1 + a_n)
$$
5. 解得：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
四、典型例题解析
| 题目 | 已知条件 | 解答过程 | 结果 |
| 1 | 首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求前5项和 | $ S_5 = \frac{5}{2}[2×2 + (5-1)×3] = \frac{5}{2}(4 + 12) = \frac{5}{2}×16 = 40 $ | 40 |
| 2 | 首项 $ a_1 = 5 $，末项 $ a_5 = 17 $，求前5项和 | $ S_5 = \frac{5}{2}(5 + 17) = \frac{5}{2}×22 = 55 $ | 55 |
| 3 | 公差 $ d = 2 $，前10项和为 110，求首项 | $ 110 = \frac{10}{2}[2a_1 + 9×2] $ → $ 110 = 5(2a_1 + 18) $ → $ 2a_1 + 18 = 22 $ → $ a_1 = 2 $ | 2 |
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值的数列 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 推导方法 | 倒序相加法 |
| 应用场景 | 数学计算、工程问题、财务分析等 |
通过掌握等差数列前n项和公式，可以更高效地解决实际问题。在学习过程中，建议多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
