【二项分布公式】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中，成功次数k的概率分布。每次试验只有两种可能的结果：成功或失败，且成功的概率p保持不变。
二项分布的公式是计算这类问题的核心工具，广泛应用于质量控制、医学研究、金融分析等领域。
一、二项分布的基本概念
| 概念 | 含义 |
| 试验次数（n） | 进行的独立试验总次数 |
| 成功概率（p） | 每次试验成功的概率 |
| 失败概率（q） | 每次试验失败的概率，q = 1 - p |
| 成功次数（k） | 在n次试验中成功的次数 |
二、二项分布公式
二项分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个元素中选出k个的方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
三、二项分布的性质
| 性质 | 描述 |
| 期望值（均值） | $ E(X) = n \cdot p $ |
| 方差 | $ Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} $ |
四、二项分布的应用示例
假设某次考试通过率为60%（即p=0.6），若随机抽取5人参加考试，求恰好3人通过的概率。
使用二项分布公式计算：
$$
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456
$$
即：有约34.56%的概率，恰好3人通过考试。
五、二项分布与实际问题的联系
二项分布在现实生活中应用广泛，例如：
- 投掷硬币时正面出现的次数；
- 产品合格率的统计；
- 医疗试验中患者对药物的反应情况；
- 保险理赔的概率预测等。
六、总结
二项分布是一种重要的概率模型，适用于独立重复试验中成功次数的计算。其核心公式为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
通过理解二项分布的定义、公式和性质，我们可以更好地分析和预测现实生活中的随机事件。
| 关键点 | 内容 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 期望 | $ n \cdot p $ |
| 方差 | $ n \cdot p \cdot (1 - p) $ |
| 应用 | 质量控制、医学研究、金融分析等 |
| 特点 | 独立重复试验、结果二元性 |
通过掌握这些知识，可以更准确地运用二项分布解决实际问题。
