常用数列通项公式
【常用数列通项公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的数的集合。根据数列的规律，可以推导出其通项公式，从而方便地求出任意一项的值。以下是对常见数列及其通项公式的总结，帮助学习者快速掌握和应用。
一、等差数列
定义：每一项与前一项的差为定值，称为公差。
- 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
- 示例：
数列：3, 5, 7, 9, 11,...
公差 $d = 2$，首项 $a_1 = 3$，
第5项为 $a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 11$
二、等比数列
定义：每一项与前一项的比为定值，称为公比。
- 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。
- 示例：
数列：2, 6, 18, 54, 162,...
公比 $r = 3$，首项 $a_1 = 2$，
第4项为 $a_4 = 2 \cdot 3^{4 - 1} = 54$
三、等差数列求和公式（非通项）
虽然不是通项公式，但常用于计算前n项和：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
四、等比数列求和公式（非通项）
同样，非通项公式，但实用性强：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\quad (r \neq 1)
$$
五、斐波那契数列
定义：从第3项开始，每一项等于前两项之和。
- 递推公式：
$$
F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
$$
初始条件：$F_1 = 1$, $F_2 = 1$
- 通项公式（近似）：
$$
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)
$$
六、平方数列
定义：数列中的每一项是自然数的平方。
- 通项公式：
$$
a_n = n^2
$$
- 示例：1, 4, 9, 16, 25,...
七、立方数列
定义：数列中的每一项是自然数的立方。
- 通项公式：
$$
a_n = n^3
$$
- 示例：1, 8, 27, 64, 125,...
八、阶乘数列
定义：数列中的每一项是自然数的阶乘。
- 通项公式：
$$
a_n = n!
$$
- 示例：1, 2, 6, 24, 120,...
九、三角数列
定义：数列中的每一项是前n个自然数的和。
- 通项公式：
$$
a_n = \frac{n(n + 1)}{2}
$$
- 示例：1, 3, 6, 10, 15,...
十、交错数列
定义：数列中各项符号交替变化。
- 通项公式：
$$
a_n = (-1)^{n+1} \cdot b_n
$$
其中 $b_n$ 为正数数列，如等差或等比数列。
- 示例：1, -2, 3, -4, 5,...
通项为：$a_n = (-1)^{n+1} \cdot n$
常用数列通项公式一览表
| 数列类型 | 通项公式 | 说明 |
| 等差数列 | $a_n = a_1 + (n - 1)d$ | $d$ 为公差 |
| 等比数列 | $a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}$ | $r$ 为公比 |
| 斐波那契数列 | $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ | 递推公式 |
| 平方数列 | $a_n = n^2$ | 每项为自然数的平方 |
| 立方数列 | $a_n = n^3$ | 每项为自然数的立方 |
| 阶乘数列 | $a_n = n!$ | 每项为自然数的阶乘 |
| 三角数列 | $a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ | 前n个自然数的和 |
| 交错数列 | $a_n = (-1)^{n+1} \cdot b_n$ | 符号交替变化 |
通过掌握这些常见的数列通项公式，可以更高效地分析和解决数列相关问题，适用于数学竞赛、考试复习以及日常学习。
以上就是【常用数列通项公式】相关内容，希望对您有所帮助。