分组数据的四分位数计算公式
【分组数据的四分位数计算公式】在统计学中，四分位数是将一组数据分成四个相等部分的数值，分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2，即中位数）和第三四分位数（Q3）。对于未分组的数据，计算四分位数较为直接，但对于分组数据，通常需要通过频数分布表来估算其值。
分组数据指的是将原始数据按照一定区间划分后形成的频数分布表。在这种情况下，四分位数的计算需要结合频数、组距以及各组的累积频率进行估算。
一、四分位数的计算方法
对于分组数据，四分位数的计算公式如下：
第一四分位数（Q1）：
$$
Q1 = L + \left( \frac{\frac{N}{4} - F}{f} \right) \times i
$$
第三四分位数（Q3）：
$$
Q3 = L + \left( \frac{\frac{3N}{4} - F}{f} \right) \times i
$$
其中：
- $ L $：Q1 或 Q3 所在组的下限
- $ N $：总频数（样本总数）
- $ F $：Q1 或 Q3 所在组之前所有组的累计频数
- $ f $：Q1 或 Q3 所在组的频数
- $ i $：该组的组距（即上限与下限之差）
二、计算步骤
1. 确定分组情况：整理数据为频数分布表，包括各组的组限、频数、累计频数。
2. 确定位置：根据公式计算 Q1 和 Q3 的位置，即 $ \frac{N}{4} $ 和 $ \frac{3N}{4} $。
3. 定位所在组：找到包含该位置的组别。
4. 代入公式计算：利用上述公式求出 Q1 和 Q3 的近似值。
三、示例说明
假设某班级学生身高数据如下（单位：厘米）：
| 身高组（cm） | 频数（f） | 累计频数（F） |
| 150 - 155 | 5 | 5 |
| 155 - 160 | 10 | 15 |
| 160 - 165 | 15 | 30 |
| 165 - 170 | 8 | 38 |
| 170 - 175 | 2 | 40 |
总频数 $ N = 40 $
计算 Q1：
- 位置：$ \frac{40}{4} = 10 $
- 位于“155 - 160”组
- $ L = 155 $, $ F = 5 $, $ f = 10 $, $ i = 5 $
$$
Q1 = 155 + \left( \frac{10 - 5}{10} \right) \times 5 = 155 + 2.5 = 157.5
$$
计算 Q3：
- 位置：$ \frac{3 \times 40}{4} = 30 $
- 位于“160 - 165”组
- $ L = 160 $, $ F = 15 $, $ f = 15 $, $ i = 5 $
$$
Q3 = 160 + \left( \frac{30 - 15}{15} \right) \times 5 = 160 + 5 = 165
$$
四、总结表格
| 四分位数 | 公式 | 参数说明 |
| Q1 | $ Q1 = L + \left( \frac{\frac{N}{4} - F}{f} \right) \times i $ | L: 组下限；F: 前组累计频数；f: 当前组频数；i: 组距 |
| Q3 | $ Q3 = L + \left( \frac{\frac{3N}{4} - F}{f} \right) \times i $ | 同上 |
五、注意事项
- 分组数据的四分位数是估算值，精确度取决于分组的合理性。
- 若分组过宽或数据分布不均，可能影响结果的准确性。
- 实际应用中，可结合箱线图等工具辅助分析。
如需进一步了解其他统计量（如极差、方差等）的计算方式，欢迎继续提问。
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