传递函数的三种形式
【传递函数的三种形式】在自动控制理论中，传递函数是描述线性时不变系统输入与输出关系的重要工具。根据不同的分析和应用需求，传递函数可以以多种形式表示。本文将总结传递函数的三种主要形式，并通过表格进行对比说明。
一、基本概念
传递函数（Transfer Function）是指在零初始条件下，系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比。通常用 $ G(s) $ 表示，其中 $ s $ 是复数变量。
二、三种常见形式
1. 多项式形式（分子分母形式）
这是最直观的表达方式，形式为：
$$
G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + \cdots + b_n}{a_0 s^m + a_1 s^{m-1} + \cdots + a_m}
$$
其中，$ N(s) $ 是分子多项式，$ D(s) $ 是分母多项式，$ n $ 和 $ m $ 分别是分子和分母的次数。
特点：
- 直观显示系统的零点和极点。
- 便于进行代数运算。
- 在工程计算中常用。
2. 因式分解形式（零极点形式）
将传递函数写成零点和极点的乘积形式：
$$
G(s) = K \cdot \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_n)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_m)}
$$
其中，$ z_i $ 是零点，$ p_i $ 是极点，$ K $ 是增益系数。
特点：
- 明确显示系统的零点和极点位置。
- 便于分析系统的稳定性、响应特性等。
- 适用于根轨迹法和频率响应分析。
3. 状态空间形式（状态变量形式）
对于多输入多输出（MIMO）系统或高阶系统，通常使用状态空间模型来表示系统动态行为：
$$
\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)
$$
$$
y(t) = C x(t) + D u(t)
$$
其中，$ x(t) $ 是状态向量，$ u(t) $ 是输入向量，$ y(t) $ 是输出向量，$ A, B, C, D $ 是系统矩阵。
特点：
- 适用于多变量系统。
- 可以更全面地描述系统的内部结构。
- 更适合计算机仿真和现代控制方法。
三、形式对比表
| 形式名称 | 表达方式 | 特点说明 |
| 多项式形式 | $ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} $ | 直观，便于代数运算，但不易看出零极点 |
| 零极点形式 | $ G(s) = K \cdot \frac{(s - z_i)}{(s - p_j)} $ | 显示零极点，便于分析系统稳定性与响应特性 |
| 状态空间形式 | $ \dot{x} = Ax + Bu $, $ y = Cx + Du $ | 适用于多输入多输出系统，能反映系统内部结构 |
四、总结
传递函数的三种形式各有其适用场景和优势。在实际应用中，根据分析目的和系统复杂度选择合适的表达方式是非常重要的。掌握这三种形式，有助于深入理解系统的动态特性，并为控制器设计和系统分析提供基础支持。
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