二阶微分方程通解例题
【二阶微分方程通解例题】在微积分中，二阶微分方程是常见的数学模型，广泛应用于物理、工程和经济学等领域。求解二阶微分方程的关键在于找到其通解，即包含所有可能解的表达式。下面通过几个典型例题，总结二阶微分方程的通解方法。
一、二阶常系数齐次线性微分方程
对于形式为
$$
y'' + py' + qy = 0
$$
的二阶常系数齐次线性微分方程，其通解取决于特征方程
$$
r^2 + pr + q = 0
$$
的根的情况。
| 特征方程的根 | 通解形式 |
| 两个不相等实根 $ r_1, r_2 $ | $ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $ |
| 两个相等实根 $ r $ | $ y = (C_1 + C_2 x)e^{rx} $ |
| 一对共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $ | $ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x) $ |
例题1：
求方程 $ y'' - 5y' + 6y = 0 $ 的通解。
解：
特征方程为 $ r^2 - 5r + 6 = 0 $，解得 $ r_1 = 2 $，$ r_2 = 3 $。
因此，通解为：
$$
y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}
$$
二、二阶常系数非齐次线性微分方程
对于形式为
$$
y'' + py' + qy = f(x)
$$
的二阶常系数非齐次线性微分方程，其通解为对应的齐次方程的通解加上一个特解。
步骤如下：
1. 求对应齐次方程的通解；
2. 根据非齐次项 $ f(x) $ 的形式，假设特解的形式；
3. 代入原方程，确定特解中的系数；
4. 将齐次通解与特解相加，得到原方程的通解。
| 非齐次项 $ f(x) $ | 特解假设形式 |
| 多项式 $ P_n(x) $ | $ Q_n(x) $（同次数多项式） |
| $ e^{ax} $ | $ Ae^{ax} $（若 $ a $ 不是特征根） |
| $ e^{ax} \sin bx $ 或 $ e^{ax} \cos bx $ | $ e^{ax}(A \cos bx + B \sin bx) $ |
例题2：
求方程 $ y'' - 3y' + 2y = e^{2x} $ 的通解。
解：
1. 齐次方程为 $ y'' - 3y' + 2y = 0 $，特征方程为 $ r^2 - 3r + 2 = 0 $，解得 $ r_1 = 1 $，$ r_2 = 2 $，通解为：
$$
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}
$$
2. 非齐次项为 $ e^{2x} $，由于 $ r = 2 $ 是特征根，故设特解为 $ y_p = A x e^{2x} $。
3. 代入原方程求得 $ A = 1 $，所以特解为 $ y_p = x e^{2x} $。
4. 原方程通解为：
$$
y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x e^{2x}
$$
三、变系数微分方程（如欧拉方程）
对于形如
$$
x^2 y'' + xy' + y = 0
$$
的欧拉方程，可通过变量替换 $ t = \ln x $ 转化为常系数微分方程。
例题3：
求方程 $ x^2 y'' + x y' + y = 0 $ 的通解。
解：
令 $ t = \ln x $，则原方程变为：
$$
y''(t) + y(t) = 0
$$
特征方程为 $ r^2 + 1 = 0 $，解得 $ r = \pm i $，通解为：
$$
y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t
$$
回代 $ t = \ln x $，得：
$$
y(x) = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x)
$$
总结表格
| 微分方程类型 | 通解形式示例 | 解法要点 |
| 齐次常系数 | $ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} $ | 特征方程法 |
| 非齐次常系数 | $ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x e^{2x} $ | 齐次通解 + 特解 |
| 欧拉方程 | $ y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) $ | 变量替换法 |
以上内容通过对典型例题的分析与总结，帮助理解二阶微分方程通解的求解思路和方法，适用于学习与复习过程中使用。
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