在每年的高考中，数学作为一门重要科目，其考试内容和题型一直备受关注。对于理科生来说，高考数学试题不仅考察了学生的逻辑思维能力，还检验了他们对数学知识的综合运用能力。本文将结合一道典型的高考数学试题及其答案进行详细解析，帮助考生更好地理解题目背后的数学原理。
题目示例：
设函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求该函数的极值点，并判断其极值类型。
解答过程：
第一步：确定函数的导数
首先，我们需要求出函数 $ f(x) $ 的一阶导数 $ f'(x) $。根据导数公式：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
第二步：解方程 $ f'(x) = 0 $
令 $ f'(x) = 0 $，得到：
$$
3x^2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1
$$
因此，函数的驻点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $。
第三步：判断极值类型
为了判断驻点处的极值类型，我们需要进一步分析二阶导数 $ f''(x) $ 的符号。
计算二阶导数：
$$
f''(x) = 6x
$$
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f''(1) = 6 > 0 $，说明 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得局部极小值。
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f''(-1) = -6 < 0 $，说明 $ f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处取得局部极大值。
第四步：计算极值点对应的函数值
将驻点代入原函数 $ f(x) $ 中，分别计算极值点对应的函数值：
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = -1 $。
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 1 = 3 $。
最终结论：
函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 的极值点及其类型如下：
- 局部极大值点为 $ x = -1 $，对应极大值为 $ f(-1) = 3 $；
- 局部极小值点为 $ x = 1 $，对应极小值为 $ f(1) = -1 $。
总结：
通过上述解析可以看出，解决此类问题的关键在于熟练掌握导数的应用，尤其是利用一阶导数确定驻点位置，利用二阶导数判断极值类型。希望本文的解析能够帮助考生更好地应对类似的高考数学试题。
