排列组合是数学中一个重要的分支，广泛应用于概率统计、计算机科学以及日常生活中的决策问题。通过掌握排列组合的基本原理和方法，可以解决许多实际问题。本文将结合几个经典例题，对排列组合的核心知识点进行梳理与总结。

一、排列组合的基本概念

在排列组合中，排列是指从一组元素中取出若干个并按照一定顺序排列的方式；而组合则是指从一组元素中取出若干个，但不考虑顺序。

- 排列公式：$ P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} $

- 组合公式：$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} $

这两个公式是解决排列组合问题的基础工具。接下来，我们将通过具体例子加深理解。

二、经典例题解析

例题 1：数字密码锁

某数字密码锁由4位数字组成，每位数字可以从0到9中选择（允许重复）。问：

1. 密码锁的所有可能组合有多少种？

2. 如果密码的第一位不能为0，则所有可能组合又有多少种？

解析：

1. 每一位数字有10种选择，因此总共有 $ 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000 $ 种组合。

2. 如果第一位不能为0，则第一位有9种选择（1到9），其余三位仍各有10种选择，因此总共有 $ 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000 $ 种组合。

例题 2：书架上的书籍排列

有5本不同的书需要摆放在书架上，其中两本书必须相邻。问：

1. 所有可能的排列方式有多少种？

2. 如果这5本书中有3本是相同的，则所有可能的排列方式又有多少种？

解析：

1. 将两本必须相邻的书看作一个整体，则相当于有4个元素需要排列（这个整体+其他3本书），排列方式为 $ 4! $。同时，这两本书内部还可以交换位置，因此总共有 $ 4! \times 2 = 48 $ 种排列方式。

2. 当3本书相同且两本书相邻时，先将两本书作为一个整体，再将这个整体与其他两本书（包括那3本相同的书）排列。此时，总共有 $ \frac{3!}{2!} \times 2 = 6 $ 种排列方式。

例题 3：分组分配问题

现有8名学生，需要分成两组，每组4人。问：

1. 不区分组别的分组方式有多少种？

2. 区分组别的分组方式又有多少种？

解析：

1. 不区分组别时，只需从8人中选出4人即可，因此总共有 $ C_8^4 = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 $ 种分组方式。

2. 区分组别时，选出的4人可以作为一组，剩下的4人为另一组，因此总共有 $ C_8^4 = 70 $ 种分组方式。

三、排列组合的应用技巧

1. 分类讨论法：当问题涉及多种情况时，可以通过分类讨论逐一分析。

2. 捆绑法与插空法：处理某些特殊条件（如相邻或不相邻）时，可以采用捆绑法或插空法简化计算。

3. 排除法：有时直接计算符合条件的情况较复杂，可以通过总数减去不符合条件的情况来求解。

四、总结

排列组合问题看似简单，但在实际应用中往往需要结合具体情况灵活运用。通过上述经典例题的分析，我们可以看到，掌握基本公式的同时，还需要学会观察问题的特点，合理选择解题策略。希望本文能帮助大家更好地理解和掌握排列组合的相关知识！

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以上就是关于排列组合的经典例题总结，希望能对你有所帮助！