在立体几何的学习中，掌握线线垂直、线面垂直以及面面垂直的概念及其应用是非常重要的。这些知识点不仅帮助我们理解空间几何的基本结构，还为后续学习打下坚实的基础。本文将通过一些精选习题，结合详细的解答过程，帮助大家巩固和提升对这一部分知识的理解。

一、基础知识回顾

1. 线线垂直

两条直线相互垂直是指它们在空间中的夹角为90°。如果两条直线在同一平面内，则可以通过斜率乘积为-1来判断；若不在同一平面内，则需借助向量或投影的方法进行分析。

2. 线面垂直

一条直线与一个平面垂直，意味着该直线的方向向量与平面的法向量平行。换句话说，这条直线与平面内的所有直线都互相垂直。

3. 面面垂直

两个平面相互垂直表示其中一个平面的法向量与另一个平面的法向量也互相垂直。这通常用于判断两个平面之间的关系。

二、典型习题及解析

习题1：

已知直线 \(l_1: x + y - z = 1\) 和直线 \(l_2: 2x - y + z = 3\)，判断这两条直线是否垂直。

解析：

首先提取两直线的方向向量。

对于 \(l_1\)，其方向向量为 \(\vec{v}_1 = (1, 1, -1)\)；

对于 \(l_2\)，其方向向量为 \(\vec{v}_2 = (2, -1, 1)\)。

计算方向向量的点积：

\[

\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 1 \times 2 + 1 \times (-1) + (-1) \times 1 = 0

\]

因为点积为零，所以两条直线垂直。

习题2：

已知平面 \(P_1: x - 2y + z = 4\) 和直线 \(l: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1}\)，判断直线是否垂直于平面。

解析：

先确定直线 \(l\) 的方向向量为 \(\vec{v} = (2, -1, 1)\)；

再找出平面 \(P_1\) 的法向量 \(\vec{n} = (1, -2, 1)\)。

检查方向向量与法向量是否平行：

\[

\vec{v} \times \vec{n} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

2 & -1 & 1 \\

1 & -2 & 1

\end{vmatrix}

= (0, 1, -3)

\]

由于结果不为零向量，说明两者不平行，因此直线与平面不垂直。

习题3：

已知平面 \(P_1: x + y + z = 6\) 和平面 \(P_2: 2x - y + z = 8\)，判断两平面是否垂直。

解析：

分别提取两平面的法向量：

\[

\vec{n}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{n}_2 = (2, -1, 1)

\]

计算法向量的点积：

\[

\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \times 2 + 1 \times (-1) + 1 \times 1 = 2 - 1 + 1 = 2

\]

因为点积不为零，所以两平面不垂直。

三、总结与建议

通过以上习题可以看出，解决这类问题的关键在于正确地提取相关向量，并灵活运用点积或叉积等工具进行验证。希望大家能够通过反复练习，逐步提高对立体几何中垂直关系的理解能力。

如果您还有其他疑问，欢迎随时交流讨论！