在几何学中，垂径定理是一个非常重要的概念，它主要描述了圆的一些性质。简单来说，垂径定理指的是：如果一条直线垂直于圆的一条直径，并且经过这条直径的中点，那么这条直线会将圆分成两个相等的部分。

接下来让我们通过一些练习题来加深对这一定理的理解：

练习题一

已知一个圆O的半径为5cm，直径AB上的点C是AB的中点。若有一条直线CD垂直于AB，并且交圆O于D点，请计算CD的长度。

解答：根据垂径定理，由于CD垂直于直径AB且经过其中点C，所以CD实际上就是圆O的一条弦。利用勾股定理可以求得CD的长度。设OC为x，则有：

\[ OC^2 + CD^2 = OD^2 \]

\[ x^2 + CD^2 = 5^2 \]

因为C是AB的中点，所以OC=OB=5cm。因此：

\[ 5^2 + CD^2 = 5^2 \]

\[ CD^2 = 0 \]

所以CD的长度为0，即D点与C点重合。

练习题二

在一个半径为8cm的圆中，有一条直径EF，其上的点G是EF的三等分点（靠近E）。另一条直线GH垂直于EF并交圆于H点。求GH的长度。

解答：同样地，应用垂径定理，我们知道GH也是圆的一条弦。首先需要确定OG的长度，由于G是EF的三等分点，所以EG=GF=4cm。因此OG=4cm。接下来使用勾股定理：

\[ OG^2 + GH^2 = OH^2 \]

\[ 4^2 + GH^2 = 8^2 \]

\[ 16 + GH^2 = 64 \]

\[ GH^2 = 48 \]

\[ GH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

因此，GH的长度为\( 4\sqrt{3} \) cm。

以上就是两道基于垂径定理的练习题及其解答过程。希望大家能够通过这些题目更好地掌握和运用垂径定理。继续努力学习吧！