在概率论与数理统计中，数学期望和方差是两个非常重要的概念。它们帮助我们理解和分析随机变量的行为特征。

首先，让我们来看一下数学期望的定义。对于一个离散型随机变量X，其数学期望E(X)可以通过以下公式计算：

\[ E(X) = \sum_{i} x_i P(x_i) \]

这里，\(x_i\) 是随机变量X可能取到的值，而 \(P(x_i)\) 则是对应于 \(x_i\) 的概率。换句话说，数学期望就是所有可能值乘以其发生概率后的加权平均值。

对于连续型随机变量Y，其数学期望则由积分形式给出：

\[ E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y f(y) dy \]

其中，\(f(y)\) 是Y的概率密度函数。

接下来是方差的概念。方差用来衡量随机变量取值相对于其均值的波动程度。对于离散型随机变量X，其方差Var(X)可以表示为：

\[ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(x_i) \]

而对于连续型随机变量Y，方差同样可以用积分表示：

\[ Var(Y) = E[(Y - E(Y))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (y - E(Y))^2 f(y) dy \]

这两个公式表明，方差实际上是随机变量偏离其均值平方后的期望值。因此，方差越大，说明随机变量的取值越分散；反之，则说明数据点集中在均值附近。

通过这些基本公式，我们可以对任意给定的概率分布进行定量分析，并据此做出更加准确的预测或决策。无论是处理实际问题还是进一步深入研究统计学理论，掌握好数学期望与方差都是非常关键的基础技能。