【数学教案-一元二次方程的应用】一、教学目标：

1. 知识与技能：

理解一元二次方程在实际问题中的应用，能够根据具体情境建立相应的方程并求解。

2. 过程与方法：

通过实际问题的分析和解决，培养学生的建模能力、逻辑思维能力和问题解决能力。

3. 情感态度与价值观：

感受数学在现实生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和信心。

二、教学重点与难点：

- 重点：掌握一元二次方程在实际问题中的建模方法。

- 难点：如何从实际问题中抽象出数学模型，并正确列出方程。

三、教学准备：

- 多媒体课件

- 教材及练习题

- 学生分组讨论材料

四、教学过程：

1. 导入新课（5分钟）

教师提问：“同学们，你们知道生活中有哪些问题可以用一元二次方程来解决吗？”引导学生思考，并举例说明如“面积问题”、“利润问题”、“运动问题”等。引出本节课的主题：“一元二次方程的应用”。

2. 新知讲解（15分钟）

（1）典型应用类型介绍

- 几何问题：如矩形的长宽变化、面积变化等；

- 销售问题：如利润、成本、售价之间的关系；

- 运动问题：如抛物线轨迹、物体运动的时间与距离等；

- 增长率问题：如人口增长、银行利息等。

（2）例题讲解

例题1： 一个长方形的长比宽多3米，面积是40平方米，求这个长方形的长和宽。

解题步骤：

1. 设宽为x米，则长为(x + 3)米；

2. 根据面积公式列方程：x(x + 3) = 40；

3. 解方程得：x² + 3x - 40 = 0；

4. 使用求根公式或因式分解法求解，得到x = 5或x = -8（舍去负数）；

5. 所以宽为5米，长为8米。

例题2： 某商品进价为每件50元，若售价定为每件60元，每天可卖出50件；若每提高1元，销量减少2件。问应将售价定为多少元时，日利润最大？

解题思路：

1. 设售价提高x元，则售价为(60 + x)元；

2. 销量为(50 - 2x)件；

3. 利润 = 单件利润 × 销量 = (60 + x - 50)(50 - 2x) = (10 + x)(50 - 2x)；

4. 展开并整理成标准形式，求其最大值。

3. 学生探究活动（15分钟）

将学生分为小组，每组选择一个实际问题进行讨论，并尝试建立方程进行解答。教师巡视指导，鼓励学生互相交流、合作解决问题。

4. 巩固练习（10分钟）

布置几道不同类型的题目，如：

- 一个正方形的边长增加2厘米后，面积增加了40平方厘米，求原边长；

- 某公司去年的产值是100万元，今年的增长率为x，两年后的产值是144万元，求增长率x；

- 一个篮球从高处落下，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h = -5t² + 10t + 20，求它落地的时间。

5. 小结与作业（5分钟）

- 小结：今天我们学习了一元二次方程在实际生活中的多种应用，掌握了如何从实际问题中抽象出数学模型，并通过方程求解得出答案。

- 作业：完成教材第XX页的练习题，选做一道综合应用题，要求写出完整的解题过程。

五、板书设计：

```

一元二次方程的应用

1. 几何问题

2. 销售问题

3. 运动问题

4. 增长率问题

例题解析：

设未知数 → 列方程 → 解方程 → 验证结果

```

六、教学反思：

本节课通过贴近生活的实例激发了学生的学习兴趣，大部分学生能较好地理解并应用一元二次方程解决实际问题。但在部分学生中仍存在建模困难的问题，需在今后的教学中加强引导与训练。