【线性代数行列式（习题课）】在学习线性代数的过程中，行列式是一个非常重要的概念，它不仅用于判断矩阵是否可逆，还在解线性方程组、计算特征值等方面有着广泛的应用。为了更好地掌握行列式的相关知识，进行系统的习题训练是必不可少的。本节课将围绕行列式的定义、性质以及常见题型展开讲解，帮助大家巩固基础知识，提升解题能力。
一、行列式的定义与基本性质
行列式是一个与方阵相关的标量值，通常用 |A| 或 det(A) 表示。对于一个 n×n 的矩阵 A，其行列式可以通过递归的方式进行计算。例如，二阶行列式的计算公式为：
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{vmatrix} = ad - bc
$$
三阶行列式则可以通过展开法或对角线法则进行计算，如：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})
$$
行列式具有若干重要性质，比如：
- 若矩阵中有两行（列）完全相同，则行列式为零；
- 若交换两行（列），行列式变号；
- 若某一行（列）乘以常数 k，则行列式也乘以 k；
- 行列式可以按行或列展开，适用于高阶矩阵的计算。
二、常见题型解析
1. 计算行列式
例题：计算下列行列式的值：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{vmatrix}
$$
解法：我们可以使用展开法或观察是否有特殊结构。注意到该矩阵的每一行都是前一行加上 3，因此行列式可能为零。
验证：通过计算可得：
$$
= 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)
= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35)
= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)
= -3 + 12 - 9 = 0
$$
结论：该行列式的值为 0。
2. 利用行列式的性质简化计算
例题：已知：
$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix} = 5
$$
求：
$$
\begin{vmatrix}
a+g & b+h & c+i \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
$$
解法：观察第二行和第三行，发现第二行与第三行没有变化，而第一行是原第一行与第三行的和。根据行列式的性质，若某一行是其他两行的和，则行列式为零。但这里只改变了第一行，所以不能直接得出结论。
更准确的做法是利用行列式的线性性质，将第一行拆分为两个部分：
$$
= \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
g & h & i \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
$$
第二个行列式由于有重复行，值为 0，因此结果为 5。
三、总结
行列式作为线性代数中的核心内容之一，不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也扮演着关键角色。通过不断练习不同类型的题目，可以加深对行列式性质的理解，并提高计算的准确性与效率。
希望本次习题课能够帮助大家更好地掌握行列式的相关知识，为后续学习打下坚实的基础。
