【【解析分类汇编系列三北京2013数学理】4平】在2013年北京市高考数学理科试卷中，平面向量作为高中数学的重要知识点之一，占据了较为关键的位置。本题型不仅考查了学生对向量基本概念的理解，还涉及到向量的运算、几何意义以及与三角函数、解析几何等知识的综合应用。

本文将围绕“平面向量”这一章节，结合2013年北京高考数学真题中的相关题目，进行系统性分析和深入讲解，帮助考生更好地掌握该部分内容的解题思路与技巧。

一、基础知识回顾

平面向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。常见的向量运算包括加法、减法、数乘以及点积（内积）和叉积（外积）。其中，点积在高考中出现频率较高，其公式为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

$$

其中，$\theta$ 为两向量之间的夹角。通过点积可以求出向量间的夹角或判断两向量是否垂直。

二、典型例题解析

以2013年北京高考数学理第4题为例：

题目：

已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, 1)$，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $x$ 的取值范围是？

解析：

首先，根据向量夹角为锐角的条件，即 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$，因为当夹角小于90度时，余弦值为正，点积也为正。

计算点积：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot x + 2 \cdot 1 = x + 2

$$

令其大于零：

$$

x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2

$$

同时，还需注意，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且方向相同，则夹角为0度，仍属于锐角范畴。因此，最终答案为：

$$

x > -2

$$

三、常见误区与注意事项

1. 忽略向量共线的情况：有些同学在处理夹角问题时，仅考虑点积大于零，而忽略了当两向量同向时的情况，导致结果不完整。

2. 混淆点积与叉积：点积用于判断角度，叉积则用于计算面积或判断方向，两者不可混用。

3. 单位向量的应用：在涉及模长的题目中，应先将向量单位化，再进行运算。

四、总结与建议

平面向量是高考数学中的高频考点，尤其在选择题和填空题中常以基础题形式出现。考生应熟练掌握向量的基本运算、几何意义及与三角函数的联系。在备考过程中，建议多做历年真题，熟悉命题规律，并注重对易错点的归纳与总结。

通过系统复习与针对性练习，相信每位考生都能在平面向量这一部分取得理想成绩。希望本文能为你的复习提供参考与帮助！