【《运筹学》试题及参考答案】在高校教学中，《运筹学》作为一门重要的应用数学课程，广泛应用于管理科学、工程优化、物流调度等多个领域。为了帮助学生更好地掌握该课程的核心内容，以下是一份《运筹学》的模拟试题及其参考答案，旨在帮助学习者巩固知识点，提升解题能力。
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 线性规划问题的标准形式中，目标函数是：
A. 最大化或最小化
B. 必须为最大化
C. 必须为最小化
D. 无约束
答案：A
2. 在单纯形法中，若某非基变量的检验数为零，则说明该问题可能有：
A. 唯一最优解
B. 无解
C. 无穷多最优解
D. 无界解
答案：C
3. 对偶问题的约束条件个数与原问题的：
A. 变量个数相同
B. 约束个数相同
C. 目标函数系数相同
D. 以上都不对
答案：B
4. 下列哪项不属于运输问题的求解方法？
A. 西北角法
B. 位势法
C. 单纯形法
D. 隐枚举法
答案：D
5. 整数规划问题中，若所有变量都要求为整数，称为：
A. 混合整数规划
B. 0-1规划
C. 全整数规划
D. 线性规划
答案：C
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 线性规划问题的可行解集是一个__________区域。
答案：凸
2. 在运输问题中，若供应量与需求量不相等，需要引入一个虚拟的__________。
答案：供应点或需求点
3. 整数规划问题中，若只允许变量取0或1，则称为__________规划。
答案：0-1
4. 对偶问题的最优值等于原问题的最优值，这体现了__________定理。
答案：对偶性
5. 在动态规划中，状态转移方程是描述当前状态与__________之间的关系。
答案：下一状态
三、简答题（每题5分，共10分）
1. 简述线性规划问题的可行解、基本解和基本可行解的定义及其区别。
答：
可行解是指满足所有约束条件的解；基本解是通过选取一组基变量并令非基变量为零所得到的解；基本可行解则是既满足约束条件，又满足非负条件的基本解。基本可行解是线性规划问题的极点，是寻找最优解的关键。
2. 什么是影子价格？它在实际问题中有什么意义？
答：
影子价格是指在最优解条件下，单位资源增加所带来的目标函数值的变化量。它反映了资源的边际价值，在实际决策中可用于判断是否值得投入更多资源。
四、计算题（每题10分，共20分）
1. 求解以下线性规划问题：
$$
\begin{aligned}
\text{max} \quad & Z = 3x_1 + 5x_2 \\
\text{s.t.} \quad & x_1 + 2x_2 \leq 8 \\
& 3x_1 + x_2 \leq 9 \\
& x_1, x_2 \geq 0
\end{aligned}
$$
解：
使用图解法或单纯形法求解，最终得最优解为 $ x_1 = 2, x_2 = 3 $，最大值 $ Z = 21 $。
2. 某运输问题的供需表如下：
| | 供应地1 | 供应地2 | 供应地3 | 供应量 |
|-------|---------|---------|---------|--------|
| 需求地A | 2 | 3 | 4 | 6|
| 需求地B | 5 | 1 | 7 | 8|
| 需求地C | 6 | 2 | 3 | 7|
| 需求量 | 5 | 7 | 9 ||
请用西北角法求出初始调运方案，并计算总运费（假设单位运价如表所示）。
解：
采用西北角法依次分配，最终得出初始调运方案，计算总运费为 122（具体步骤略）。
五、综合题（10分）
试分析运输问题与线性规划的关系，并说明为何运输问题可以被看作是线性规划的一个特殊形式。
答：
运输问题本质上是一个特殊的线性规划问题，其目标函数为总运费最小，约束条件包括供应限制和需求限制。由于运输问题的结构具有特定的矩阵形式，且变量之间存在一定的对称性，因此可以用线性规划的方法进行求解，但也可以采用更高效的算法（如表上作业法）来提高效率。
结语：
通过本套试题的练习，可以帮助学生系统地复习《运筹学》的相关知识，掌握常见的题型与解题思路。同时，也提醒学生在学习过程中注重理解概念，灵活运用方法，才能真正提高解决实际问题的能力。
