【经典等差数列练习题】在数学学习中，等差数列是一个基础而重要的知识点，广泛应用于数列、函数、数论等多个领域。掌握等差数列的基本概念和性质，不仅能帮助我们解决实际问题，还能提升逻辑思维能力和数学素养。本文将围绕“经典等差数列练习题”展开，通过一些典型的例题和解析，帮助大家更好地理解和运用等差数列的相关知识。
一、什么是等差数列？
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差值称为公差，通常用字母 d 表示。
一般形式为：
$$ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, \ldots, a_1 + (n-1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
二、等差数列的常见公式
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
2. 求和公式（前 $ n $ 项和）：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
三、经典等差数列练习题
题目1：
已知一个等差数列的首项是 3，公差是 5，求第 10 项是多少？
解题思路：
根据通项公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，代入数据得：
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 5 = 3 + 45 = 48
$$
答案：第 10 项是 48。
题目2：
一个等差数列的前三项分别是 7、12、17，求它的第 15 项。
解题思路：
首先确定公差 $ d = 12 - 7 = 5 $。
再使用通项公式：
$$
a_{15} = 7 + (15 - 1) \times 5 = 7 + 70 = 77
$$
答案：第 15 项是 77。
题目3：
已知等差数列的第 5 项是 16，第 10 项是 31，求这个数列的首项和公差。
解题思路：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则有：
$$
a_5 = a_1 + 4d = 16 \\
a_{10} = a_1 + 9d = 31
$$
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a_1 + 4d = 16 \\
a_1 + 9d = 31
\end{cases}
$$
两式相减得：
$$
5d = 15 \Rightarrow d = 3
$$
代入第一式：
$$
a_1 + 4 \times 3 = 16 \Rightarrow a_1 = 16 - 12 = 4
$$
答案：首项是 4，公差是 3。
题目4：
一个等差数列的前 10 项和为 155，公差为 3，求首项。
解题思路：
使用求和公式：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}[2a_1 + (10 - 1) \times 3] = 155 \\
5[2a_1 + 27] = 155 \\
2a_1 + 27 = 31 \Rightarrow 2a_1 = 4 \Rightarrow a_1 = 2
$$
答案：首项是 2。
四、总结
等差数列作为数列中的基本类型，其规律清晰、计算简便，是数学学习的重要内容。通过练习题，我们可以逐步掌握通项公式、求和公式以及如何根据已知条件反推出首项或公差。希望以上题目能够帮助你巩固知识，提高解题能力。
如果你对等差数列还有更多疑问，欢迎继续探索！
