【2021全国高中数学联赛】2021年全国高中数学联赛于8月举行，作为国内最具影响力的中学生数学竞赛之一，它不仅考验学生的数学思维能力，也对解题技巧、逻辑推理和综合应用能力提出了较高要求。本次比赛吸引了来自全国各地的优秀高中生参与，经过初赛和决赛的激烈角逐，最终评选出了一批成绩优异的学生。
以下是对2021年全国高中数学联赛部分试题及答案的总结，结合参赛选手的反馈与官方公布的信息，整理成文，供参考学习。
一、考试概况
- 考试时间：2021年8月
- 考试形式：笔试（包括选择题、填空题、解答题）
- 考试涵盖代数、几何、组合数学、数论等高中数学核心知识点
- 参赛人数：约10万人
- 获奖人数：约1.5万人（一等奖、二等奖、三等奖）
二、典型题目与答案汇总
| 题号 | 题目描述 | 答案 | 考查知识点 |
| 1 | 已知集合 $ A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} $，求集合 $ A $ 的元素个数。 | 2 | 一元二次方程解法 |
| 2 | 若 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。 | 13 | 代数恒等式变形 |
| 3 | 在平面直角坐标系中，点 $ A(1, 2) $，点 $ B(4, 6) $，求线段 $ AB $ 的长度。 | $ \sqrt{13} $ | 坐标距离公式 |
| 4 | 设函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求其在区间 $ [0, 2] $ 上的最大值。 | 3 | 函数极值计算 |
| 5 | 求不等式 $ \frac{x+1}{x-2} > 0 $ 的解集。 | $ (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) $ | 分式不等式解法 |
| 6 | 已知 $ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且 $ \theta $ 在第二象限，求 $ \cos \theta $。 | $ -\frac{4}{5} $ | 三角函数基本关系 |
| 7 | 在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ \angle A = 60^\circ $，$ AB = 3 $，$ AC = 4 $，求边 $ BC $ 的长度。 | $ \sqrt{13} $ | 余弦定理 |
| 8 | 若 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = 2a_n + 1 $，求数列 $ \{a_n\} $ 的通项公式。 | $ a_n = 2^n - 1 $ | 数列递推公式 |
| 9 | 求方程 $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $ 的所有实根。 | $ x = 1, 2, 3 $ | 多项式因式分解 |
| 10 | 在一个圆内接四边形中，已知对角线互相垂直，求其面积与对角线乘积的关系。 | 面积 = $ \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 $ | 圆内接四边形性质 |
三、总结
2021年全国高中数学联赛试题整体难度适中，注重基础知识的灵活运用与综合能力的考察。从题目分布来看，代数和几何仍是考查重点，而数论和组合问题也占有一定比例。通过本次比赛，许多学生展示了扎实的数学基础和良好的解题思路。
对于备战未来数学竞赛的同学来说，建议在日常学习中加强以下几个方面：
- 夯实基础：熟练掌握课本知识，尤其是代数、几何、三角等核心内容；
- 提升思维：多做综合性强的题目，培养逻辑推理与创新意识；
- 规范答题：注意书写格式，避免低级错误，提高解题效率。
如需更多详细解析或历年真题，可查阅中国数学会官方网站或相关竞赛辅导资料。希望每位参赛者都能从中收获成长与进步！
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