【柯西不等式公式是什么】柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，广泛应用于代数、分析、几何等多个领域。它以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）的名字命名，但最早由匈牙利数学家赫尔曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）在1888年推广使用，因此有时也被称为“柯西-施瓦茨不等式”。

柯西不等式的本质在于描述两个向量之间的内积与它们模长的关系，具有很强的普遍性和实用性。

一、柯西不等式的基本形式

1. 实数形式（二维）

对于任意两个实数序列 $ a_1, a_2 $ 和 $ b_1, b_2 $，柯西不等式可以表示为：

$$

(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2

$$

2. 一般形式（n维）

对于任意两个实数序列 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，柯西不等式为：

$$

\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2

$$

二、柯西不等式的向量形式

在向量空间中，设向量 $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) $，$ \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) $，则柯西不等式可以写成：

$$

$$

其中：

- $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $ 是向量的点积；

- $ \