【求等价无穷小所有的公式】在高等数学中，等价无穷小是一个非常重要的概念，尤其在极限计算和泰勒展开中广泛应用。等价无穷小指的是当自变量趋于某个值（通常是0）时，两个无穷小量的比值趋于1，即它们在该点附近的变化趋势相同。掌握常见的等价无穷小公式，有助于快速简化极限运算。
以下是对常见等价无穷小公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本等价无穷小公式
| x → 0 时的等价关系 | 原函数 | 等价无穷小 |
| sinx ~ x | sinx | x |
| tanx ~ x | tanx | x |
| arcsinx ~ x | arcsinx | x |
| arctanx ~ x | arctanx | x |
| lnx ~ x - 1 | lnx | x - 1 |
| e^x - 1 ~ x | e^x - 1 | x |
| a^x - 1 ~ x ln a | a^x - 1 | x ln a |
| 1 - cosx ~ (x²)/2 | 1 - cosx | (x²)/2 |
| 1 - cosx ~ (1/2)x² | 1 - cosx | (1/2)x² |
| ln(1 + x) ~ x | ln(1 + x) | x |
| (1 + x)^k - 1 ~ kx | (1 + x)^k - 1 | kx |
二、高阶无穷小与低阶无穷小的关系
在实际应用中，除了知道哪些函数是等价的，还需要了解它们之间的“高阶”或“低阶”关系。例如：
- sinx - x ~ -x³/6：表示sinx比x高一个三次方的阶。
- tanx - x ~ x³/3
- ln(1 + x) - x ~ -x²/2
- e^x - 1 - x ~ x²/2
- (1 + x)^k - 1 - kx ~ (k(k - 1)/2)x²
这些关系在使用泰勒展开或洛必达法则时非常有用。
三、常见函数的泰勒展开式（用于推导等价无穷小）
| 函数 | 泰勒展开式（x → 0） |
| sinx | x - x³/6 + x⁵/120 - … |
| cosx | 1 - x²/2 + x⁴/24 - … |
| tanx | x + x³/3 + 2x⁵/15 + … |
| lnx | (x - 1) - (x - 1)²/2 + (x - 1)³/3 - … |
| e^x | 1 + x + x²/2! + x³/3! + … |
| (1 + x)^k | 1 + kx + k(k - 1)x²/2! + … |
| ln(1 + x) | x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + … |
通过泰勒展开可以更精确地判断两个函数之间的等价关系，特别是在处理复杂极限时。
四、使用等价无穷小的注意事项
1. 适用范围：等价无穷小只适用于当x → 0时的情况，其他情况下不能随意替换。
2. 不可随意替换加减法中的项：等价无穷小一般用于乘除运算，加减法中需特别注意是否为同阶无穷小。
3. 结合泰勒展开：对于较复杂的表达式，可先进行泰勒展开，再找出等价无穷小。
4. 保持一致性：在同一个极限问题中，应统一使用同一阶数的近似，避免误差累积。
五、总结
掌握等价无穷小公式是解决极限问题的关键技能之一。通过对常见函数的近似关系进行归纳整理，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数行为的理解。建议在学习过程中多做练习，灵活运用这些公式。
附表：常用等价无穷小公式汇总
| 函数 | 等价无穷小（x → 0） |
| sinx | x |
| tanx | x |
| arcsinx | x |
| arctanx | x |
| 1 - cosx | x²/2 |
| lnx | x - 1 |
| e^x - 1 | x |
| a^x - 1 | x ln a |
| ln(1 + x) | x |
| (1 + x)^k - 1 | kx |
通过熟练掌握这些公式，可以在处理极限、微分和积分问题时更加得心应手。
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