【求复合函数求导公式】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的内容。当我们遇到由多个函数组合而成的复杂函数时，如 $ y = f(g(x)) $，就需要使用链式法则（Chain Rule）来进行求导。下面将对常见的复合函数求导公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本概念
复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如：
- $ y = f(u) $，其中 $ u = g(x) $
- 则整体函数为 $ y = f(g(x)) $
根据链式法则，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
二、常见复合函数求导公式总结
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ y' = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的导数，n 为常数 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ y' = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(f(x)) $ | $ y' = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正切函数的导数 |
| $ y = a^{f(x)} $ | $ y' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x) $ | 底数为常数的指数函数导数 |
| $ y = \log_a(f(x)) $ | $ y' = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln(a)} $ | 底数为常数的对数函数导数 |
三、应用示例
例1：
设 $ y = (3x + 2)^5 $，求导数。
解：
令 $ u = 3x + 2 $，则 $ y = u^5 $
$ \frac{dy}{du} = 5u^4 $，$ \frac{du}{dx} = 3 $
所以 $ \frac{dy}{dx} = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4 $
例2：
设 $ y = \ln(\sin x) $，求导数。
解：
令 $ u = \sin x $，则 $ y = \ln u $
$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u} $，$ \frac{du}{dx} = \cos x $
所以 $ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $
四、小结
复合函数的求导本质上是通过链式法则将整个函数分解为多个部分，分别求导后再相乘。掌握这些基本公式和应用方法，能够帮助我们快速解决复杂的求导问题。
在实际学习中，建议多做练习题，熟悉各种类型的复合函数，并注意区分不同函数的导数形式，避免混淆。
以上就是【求复合函数求导公式】相关内容，希望对您有所帮助。
