【完全弹性碰撞结论推导】在物理学中，碰撞问题是一个重要的研究内容。其中，完全弹性碰撞是指碰撞过程中动量和动能都守恒的碰撞类型。这种碰撞通常发生在理想化的刚体之间，不考虑能量损耗，如摩擦、形变等。本文将对完全弹性碰撞的结论进行推导，并以加表格的形式展示关键公式和结果。
一、基本概念与假设
1. 动量守恒：系统总动量在碰撞前后保持不变。
2. 动能守恒：系统总动能在碰撞前后也保持不变。
3. 碰撞过程：两个物体发生接触并相互作用，之后分开。
4. 理想化条件：忽略空气阻力、摩擦力等非保守力。
二、公式推导
设质量分别为 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 的两个物体，在光滑水平面上发生完全弹性碰撞，初始速度分别为 $ v_{1i} $ 和 $ v_{2i} $，碰撞后速度分别为 $ v_{1f} $ 和 $ v_{2f} $。
1. 动量守恒：
$$
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}
$$
2. 动能守恒：
$$
\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2
$$
通过联立这两个方程，可以解出碰撞后的速度 $ v_{1f} $ 和 $ v_{2f} $。
三、推导结果
经过代数运算，可得以下结论：
$$
v_{1f} = \frac{(m_1 - m_2)v_{1i} + 2m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}
$$
$$
v_{2f} = \frac{(m_2 - m_1)v_{2i} + 2m_1 v_{1i}}{m_1 + m_2}
$$
这些公式适用于一维情况下的完全弹性碰撞。
四、特殊情况分析
| 情况 | 质量关系 | 结果 |
| $ m_1 = m_2 $ | 相等质量 | 交换速度，即 $ v_{1f} = v_{2i}, v_{2f} = v_{1i} $ |
| $ m_2 \gg m_1 $ | 二物体质量远大于一物体 | 一物体反弹，速度大小相同方向相反；二物体速度几乎不变 |
| $ m_1 \gg m_2 $ | 一物体质量远大于二物体 | 一物体速度几乎不变；二物体以两倍于一物体初速度反向运动 |
五、总结
在完全弹性碰撞中，动量和动能均守恒，因此可以通过数学推导得出碰撞后的速度表达式。不同质量比的物体在碰撞后的运动状态各有特点，理解这些规律有助于分析实际物理现象，如台球、粒子碰撞等。
表：完全弹性碰撞关键公式总结
| 公式名称 | 公式表达 |
| 动量守恒 | $ m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} $ |
| 动能守恒 | $ \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 $ |
| 碰撞后速度（1） | $ v_{1f} = \frac{(m_1 - m_2)v_{1i} + 2m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} $ |
| 碰撞后速度（2） | $ v_{2f} = \frac{(m_2 - m_1)v_{2i} + 2m_1 v_{1i}}{m_1 + m_2} $ |
通过上述推导和总结，我们可以清晰地掌握完全弹性碰撞的基本原理及其应用方式。
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