【圆心到弦距离公式】在解析几何中，圆是一个重要的研究对象，而圆心到弦的距离是与圆相关的常见计算之一。掌握这一公式可以帮助我们快速求解与圆有关的几何问题，尤其是在考试或实际应用中具有重要意义。
一、公式总结
设一个圆的半径为 $ R $，一条弦的长度为 $ l $，则该弦的中点到圆心的距离（即圆心到弦的距离）为：
$$
d = \sqrt{R^2 - \left( \frac{l}{2} \right)^2}
$$
这个公式来源于勾股定理，通过将弦的中点与圆心连接起来，形成一个直角三角形，其中斜边为半径 $ R $，一条直角边为弦的一半 $ \frac{l}{2} $，另一条直角边即为圆心到弦的距离 $ d $。
二、公式适用条件
- 圆的半径已知；
- 弦的长度已知；
- 弦必须是圆上的弦，即两端点在圆上。
三、典型例题解析
| 已知 | 求解 | 公式应用 | 计算过程 |
| 半径 $ R = 5 $，弦长 $ l = 6 $ | 圆心到弦的距离 $ d $ | $ d = \sqrt{R^2 - \left( \frac{l}{2} \right)^2} $ | $ d = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $ |
| 半径 $ R = 10 $，弦长 $ l = 12 $ | 圆心到弦的距离 $ d $ | $ d = \sqrt{10^2 - 6^2} $ | $ d = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $ |
| 半径 $ R = 13 $，弦长 $ l = 24 $ | 圆心到弦的距离 $ d $ | $ d = \sqrt{13^2 - 12^2} $ | $ d = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 $ |
四、注意事项
- 如果给出的是弦的中点到圆心的距离，可以通过公式反推出弦长；
- 若已知圆心到弦的距离和半径，可以计算出弦的长度；
- 此公式适用于所有圆内弦的情况，不局限于直径或其他特殊位置的弦。
五、总结
圆心到弦的距离公式是解析几何中的基本工具之一，能够帮助我们在不知道圆心坐标的情况下，仅凭半径和弦长计算出圆心到弦的距离。它不仅在数学考试中经常出现，也在工程、物理等领域有着广泛的应用价值。掌握并灵活运用这一公式，有助于提高几何问题的解决效率。
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