【期望的性质】在概率论与数理统计中，期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的“平均值”或“中心趋势”。理解期望的性质有助于我们更好地分析和应用随机变量的数学特征。以下是对“期望的性质”的总结，并以表格形式展示关键内容。
一、期望的基本定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其期望（数学期望）记为 $ E(X) $，表示在大量重复试验中，$ X $ 的平均取值。对于离散型随机变量，期望为：
$$
E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
$$
对于连续型随机变量，期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、期望的性质总结
| 性质编号 | 性质名称 | 内容说明 |
| 1 | 线性性 | 对任意常数 $ a, b $ 和随机变量 $ X, Y $，有：$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ |
| 2 | 常数的期望 | 若 $ c $ 是常数，则 $ E(c) = c $ |
| 3 | 非负性 | 若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $ |
| 4 | 可加性 | 对任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有：$ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ |
| 5 | 乘积的期望 | 若 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，则 $ E(XY) = E(X)E(Y) $ |
| 6 | 期望的线性组合 | 对任意常数 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ 和随机变量 $ X_1, X_2, \dots, X_n $，有：$ E\left(\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i) $ |
三、补充说明
- 线性性是期望最核心的性质之一，它使得期望在实际问题中具有广泛的适用性。
- 非负性保证了期望不会出现无意义的负值，除非随机变量本身允许负值。
- 独立性对乘积的影响表明，在计算多个独立变量的乘积期望时，可以分别计算各自的期望再相乘，这在实际建模中非常有用。
- 期望并不总是存在，例如柯西分布的期望不存在。
通过理解这些性质，我们可以更准确地分析随机变量的行为，并在实际问题中合理地使用期望进行预测与决策。
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