【欧拉方程怎么解】欧拉方程是微分方程中一类重要的常微分方程，形式为：
$$
x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = 0
$$
其中 $ x > 0 $，系数 $ a_i $ 是常数。这类方程在物理和工程中有着广泛的应用，尤其在处理具有变量系数的微分方程时非常有用。
一、欧拉方程的求解方法总结
| 步骤 | 内容 |
| 1. 变量替换 | 令 $ t = \ln x $，将原方程转化为关于 $ t $ 的常系数线性微分方程。 |
| 2. 特征方程 | 将变换后的方程写成标准形式，构造对应的特征方程。 |
| 3. 求解特征根 | 解特征方程，得到特征根（实根、复根、重根）。 |
| 4. 写出通解 | 根据特征根的不同情况，写出对应的通解表达式。 |
| 5. 还原变量 | 将 $ t $ 替换回 $ \ln x $，得到原方程的通解。 |
二、不同特征根下的通解形式
| 特征根类型 | 通解形式 |
| 实根 $ r $ | $ y = C_1 x^r $ |
| 重根 $ r $ | $ y = (C_1 + C_2 \ln x) x^r $ |
| 共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $ | $ y = x^\alpha [C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x)] $ |
三、示例说明
考虑欧拉方程：
$$
x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0
$$
1. 令 $ t = \ln x $，则 $ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} $，同理可得 $ y'' $。
2. 变换后方程变为：
$$
\frac{d^2 y}{dt^2} - 4 \frac{dy}{dt} + 4y = 0
$$
3. 特征方程为：
$$
r^2 - 4r + 4 = 0 \Rightarrow (r - 2)^2 = 0
$$
4. 得到重根 $ r = 2 $，通解为：
$$
y = (C_1 + C_2 \ln x) x^2
$$
四、注意事项
- 欧拉方程适用于形如 $ x^n y^{(n)} + \cdots $ 的方程，且要求 $ x > 0 $。
- 若方程中含有非齐次项，需使用常数变易法或待定系数法求特解。
- 变量替换是关键步骤，正确进行变量替换才能将方程转化为常系数形式。
通过以上步骤与方法，可以系统地解决欧拉方程问题。掌握这一类方程的解法，有助于理解更复杂的微分方程问题，并应用于实际工程与物理模型中。
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