xsinx是奇函数还是偶函数
导读 【xsinx是奇函数还是偶函数】在数学中，函数的奇偶性是判断其对称性的关键性质。对于函数 $ f(x) = x sin x $，我们需要通过定义来判断它是否为奇函数或偶函数。
【xsinx是奇函数还是偶函数】在数学中，函数的奇偶性是判断其对称性的关键性质。对于函数 $ f(x) = x \sin x $，我们需要通过定义来判断它是否为奇函数或偶函数。
一、基本概念回顾
- 偶函数：若对所有 $ x $，有 $ f(-x) = f(x) $，则称 $ f(x) $ 是偶函数，图像关于 y 轴对称。
- 奇函数：若对所有 $ x $，有 $ f(-x) = -f(x) $，则称 $ f(x) $ 是奇函数，图像关于原点对称。
二、分析 $ f(x) = x \sin x $
我们计算 $ f(-x) $：
$$
f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)
$$
利用三角函数的性质：
$$
\sin(-x) = -\sin x
$$
因此，
$$
f(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
这说明 $ f(-x) = f(x) $，即函数满足偶函数的定义。
但等一下！我们再仔细检查一次：
$$
f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
没错，所以 $ f(-x) = f(x) $，说明该函数是偶函数。
三、总结与表格
| 函数表达式 | 是否为偶函数 | 是否为奇函数 | 原因说明 |
| $ f(x) = x \sin x $ | ✅ 是 | ❌ 否 | $ f(-x) = x \sin x = f(x) $ |
四、结论
经过推导和验证，可以得出结论：函数 $ x \sin x $ 是一个偶函数。它的图像关于 y 轴对称，符合偶函数的定义。
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