等比数列的所有公式
【等比数列的所有公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为一个常数。掌握等比数列的相关公式，对于解决实际问题和数学题具有重要意义。以下是对等比数列相关公式的全面总结。
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。
- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。
二、等比数列的公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 用于求等比数列中任意一项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 求等比数列前n项的和 | ||
| 当公比为1时的和 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 若公比为1，所有项相等，和为首项乘以项数 | ||
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若a, b, c成等比数列，则b是a和c的等比中项 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项的和趋于一个有限值 |
三、典型应用举例
1. 求第5项
已知首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ r = 2 $，则第5项为：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48
$$
2. 求前4项和
首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $，则前4项和为：
$$
S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80
$$
3. 求等比中项
若 $ a = 4 $，$ c = 16 $，则等比中项 $ b = \sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8 $
4. 求无穷数列和
若首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ r = \frac{1}{2} $，则无穷和为：
$$
S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
$$
四、注意事项
- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，各项都相等。
- 当 $
- 在使用公式时，需注意变量的取值范围，避免出现除以零的情况。
通过以上公式和实例，可以系统地理解和应用等比数列的相关知识。掌握这些内容有助于提升数学思维能力，并在实际问题中灵活运用。
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