刚体角动量定理推导
【刚体角动量定理推导】在经典力学中，角动量是描述物体旋转运动的重要物理量。对于刚体而言，其角动量的变化与外力矩之间存在直接的联系，这就是刚体角动量定理的核心内容。本文将从基本概念出发，逐步推导刚体角动量定理，并以总结形式呈现关键信息。
一、基本概念
1. 角动量（Angular Momentum）
角动量是矢量，定义为位置矢量 $\vec{r}$ 与动量 $\vec{p}$ 的叉乘：
$$
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}
$$
对于刚体，角动量可以表示为转动惯量 $I$ 与角速度 $\vec{\omega}$ 的乘积：
$$
\vec{L} = I\vec{\omega}
$$
2. 力矩（Torque）
力矩是作用在物体上的力对某一点或轴的转动效应，定义为：
$$
\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}
$$
其方向由右手螺旋法则确定。
3. 角动量定理
角动量定理指出，物体所受的合外力矩等于其角动量随时间的变化率：
$$
\vec{\tau}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt}
$$
二、刚体角动量定理的推导
对于刚体系统，假设其质量分布固定，各质点之间的相对位置不变。设刚体绕某一固定轴旋转，角速度为 $\omega$，则每个质点的角动量为：
$$
L_i = r_i m_i v_i = r_i m_i \omega r_i = m_i r_i^2 \omega
$$
总角动量为：
$$
L = \sum_i m_i r_i^2 \omega = I \omega
$$
其中 $I = \sum_i m_i r_i^2$ 是转动惯量。
若刚体受到外力矩 $\tau_{\text{ext}}$，则根据牛顿第二定律，有：
$$
\frac{dL}{dt} = \tau_{\text{ext}}
$$
即：
$$
\tau_{\text{ext}} = \frac{d}{dt}(I\omega)
$$
若转动惯量 $I$ 不变，则上式可简化为：
$$
\tau_{\text{ext}} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha
$$
其中 $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ 是角加速度。
三、总结与对比
| 概念 | 定义 | 公式 | 说明 |
| 角动量 | 描述物体旋转状态的物理量 | $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ 或 $L = I\omega$ | 刚体角动量依赖于转动惯量和角速度 |
| 力矩 | 使物体产生旋转的力的作用效果 | $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ | 力矩是角动量变化的原因 |
| 角动量定理 | 外力矩等于角动量的变化率 | $\vec{\tau}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ | 描述了角动量与外力矩之间的关系 |
| 刚体角动量定理 | 刚体角动量随时间的变化率等于外力矩 | $\tau_{\text{ext}} = \frac{d}{dt}(I\omega)$ | 当转动惯量恒定时，$\tau = I\alpha$ |
四、结论
刚体角动量定理揭示了外力矩与角动量变化之间的关系，是分析刚体旋转运动的重要工具。通过该定理，可以理解物体在受力后如何改变其旋转状态，为工程力学、天体力学等领域提供了理论基础。
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