高数复合分段函数经典例题
【高数复合分段函数经典例题】在高等数学中，复合分段函数是一个重要的知识点，尤其在求极限、连续性、导数以及积分时经常出现。本文将通过几个经典例题，对复合分段函数的性质和解题方法进行总结，并以表格形式展示答案，便于理解与记忆。
一、例题解析
例题1：
设函数 $ f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1, & x < 0 \\
\sin x, & x \geq 0
\end{cases} $
求 $ f(f(x)) $ 的表达式。
解答过程：
- 当 $ x < 0 $ 时，$ f(x) = x^2 + 1 > 0 $，所以 $ f(f(x)) = \sin(x^2 + 1) $
- 当 $ x \geq 0 $ 时，$ f(x) = \sin x $，此时需要判断 $ \sin x $ 是否小于0：
- 若 $ \sin x < 0 $，即 $ x \in (\pi, 2\pi) $，则 $ f(f(x)) = (\sin x)^2 + 1 $
- 若 $ \sin x \geq 0 $，即 $ x \in [0, \pi] $，则 $ f(f(x)) = \sin(\sin x) $
最终结果：
$$
f(f(x)) = \begin{cases}
\sin(x^2 + 1), & x < 0 \\
\sin(\sin x), & 0 \leq x \leq \pi \\
(\sin x)^2 + 1, & \pi < x < 2\pi
\end{cases}
$$
例题2：
已知函数 $ f(x) = \begin{cases}
x + 1, & x \leq 1 \\
x^2, & x > 1
\end{cases} $，
求 $ f(f(x)) $ 的表达式。
解答过程：
- 当 $ x \leq 1 $ 时，$ f(x) = x + 1 $，若 $ x + 1 \leq 1 $，即 $ x \leq 0 $，则 $ f(f(x)) = (x + 1) + 1 = x + 2 $
- 若 $ x \in (0, 1] $，则 $ x + 1 > 1 $，故 $ f(f(x)) = (x + 1)^2 $
- 当 $ x > 1 $ 时，$ f(x) = x^2 > 1 $，因此 $ f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4 $
最终结果：
$$
f(f(x)) = \begin{cases}
x + 2, & x \leq 0 \\
(x + 1)^2, & 0 < x \leq 1 \\
x^4, & x > 1
\end{cases}
$$
例题3：
设 $ f(x) = \begin{cases}
2x, & x < 0 \\
x^2, & x \geq 0
\end{cases} $，
求 $ f(f(x)) $ 的表达式。
解答过程：
- 当 $ x < 0 $ 时，$ f(x) = 2x < 0 $，所以 $ f(f(x)) = 2(2x) = 4x $
- 当 $ x \geq 0 $ 时，$ f(x) = x^2 \geq 0 $，所以 $ f(f(x)) = (x^2)^2 = x^4 $
最终结果：
$$
f(f(x)) = \begin{cases}
4x, & x < 0 \\
x^4, & x \geq 0
\end{cases}
$$
二、总结表格
| 题号 | 原函数 $ f(x) $ | 复合函数 $ f(f(x)) $ 表达式 |
| 1 | $ \begin{cases} x^2 + 1, & x < 0 \\ \sin x, & x \geq 0 \end{cases} $ | $ \begin{cases} \sin(x^2 + 1), & x < 0 \\ \sin(\sin x), & 0 \leq x \leq \pi \\ (\sin x)^2 + 1, & \pi < x < 2\pi \end{cases} $ |
| 2 | $ \begin{cases} x + 1, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases} $ | $ \begin{cases} x + 2, & x \leq 0 \\ (x + 1)^2, & 0 < x \leq 1 \\ x^4, & x > 1 \end{cases} $ |
| 3 | $ \begin{cases} 2x, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0 \end{cases} $ | $ \begin{cases} 4x, & x < 0 \\ x^4, & x \geq 0 \end{cases} $ |
三、小结
复合分段函数的关键在于根据自变量的不同区间，逐层代入并判断函数值所在的区间，从而确定最终的表达式。掌握这一方法，能够有效解决各种分段函数的复合问题，是学习高等数学的重要基础。
以上就是【高数复合分段函数经典例题】相关内容，希望对您有所帮助。